2016 浙江卷 数学

（5 分）（2016•浙江）已知全集 $U={1$，2，3，4，5，6}，集合 $P={1$，3，5}，$Q={1$，2，
4}，则（∁ P）∪$Q=$（　　）

已知互相垂直的平面 $\alpha$，$\beta$ 交于直线 $l$，若直线 $m$，$n$ 满足 $m\parallel\alpha$，$n\perp\beta$，则（　　）

（5分）（2016•浙江）函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \mathbf { s } \operatorname { i n x } ^ { 2 }$ 的图象是（　　）

A

B

D

（5分）（2016•浙江）若平面区域 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 3 \geqslant 0 } \\ { 2 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 3 \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，夹在两条斜率为1的平行直线之间，
则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）
A $\frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ B $\sqrt { 2 }$ C． $\frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 }$ D $\sqrt { 5 }$

（5分）（2016•浙江）已知a，b＞0且 $\mathrm { a } { \neq } 1 , \ \mathrm { b } { \neq } 1$ ，若 $\mathrm { 1 o g _ { a } b > 1 }$ ，则（　　）A $( \mathrm { a } - 1 ) \ ( \mathrm { b } - 1 ) < 0$ B $\mathrm { ~ ( ~ a ~ - ~ 1 ~ ) ~ } \mathrm { ~ ( ~ a ~ - ~ b ~ ) ~ } > 0$ C $\mathrm { ( b - 1 ) \ : \ : ( b - a ) \ : < 0 }$ D $( \mathrm { b ~ - ~ 1 ) ~ ( \mathrm { b ~ - ~ a ) ~ } > 0 }$

（5分）（2016•浙江）已知函数 ${ \mathrm { ~ f ~ } } \left( { \mathrm { ~ x ~ } } \right) \ = \mathrm { { x ^ { 2 } } + { b x } }$ ，则 $\mathrm { ^ { 6 6 } b { < } 0 \mathrm { ^ { 9 } } }$ 是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（　　）

（5分）（2016•浙江）已知函数 $ f(x) $ 满足：$ f(x) \geqslant |x| $ 且 $ f(x) \geqslant 2^x $，$ x \in \mathbb{R} $．（　　）

（5分）（2016•浙江）如图，点列 $\{ \mathrm { A } _ { \mathrm { n } } \} , \quad \{ \mathrm { B } _ { \mathrm { n } } \}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\mid \mathrm { A _ { n } A _ { n + 1 } } \mid = \mid \mathrm { A _ { n + 1 } A _ { n + 2 } } \mid$ $\begin{array} { r } { \mathrm A _ { \mathrm { n } } \not = \mathrm A _ { \mathrm { n } + 1 } , \mathrm { n } \in \mathrm N ^ { \ast } , \left| \mathrm B _ { \mathrm { n } } \mathrm B _ { \mathrm { n } + 1 } \right| = \left| \mathrm B _ { \mathrm { n } + 1 } \mathrm B _ { \mathrm { n } + 2 } \right| , \mathrm { B } _ { \mathrm { n } } \not = \mathrm B _ { \mathrm { n } + 1 } , \mathrm { n } \in \mathrm N ^ { \ast } , ( \mathrm P \not = 0 } \end{array}$ 表示点P与Q不重合）若

$$ \mathrm { d _ { n } = \left| \ A _ { n } B _ { n } \right| , \ S _ { n } } $$

$$ \triangle \mathrm { A _ { n } B _ { n } B _ { n + 1 } } $$

（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是　80cm2，体积是 $4 0 { \mathrm { ~ \textrm ~ { ~ ~ } ~ } } { \mathrm { c m ^ { 3 } } }$

正视图

侧视图

俯视图

（6分）（2016•浙江）已知 ${ \mathrm { a } } \in { \mathrm { R } } ,$ ，方程 $a ^ { 2 } \mathrm { X } ^ { 2 } + \mathrm { ~ ( a + 2 ) ~ } \mathrm { y } ^ { 2 } + 4 \mathrm { X } + 8 \mathrm { y } + 5 \mathrm { a } = 0$ 表示圆，则圆心坐标是　（﹣2，﹣4）　，半径是　5

已知 $2\cos^2x+\sin2x=A\sin(\omega x+\phi)+b$ ($A>0$)，则 $A=\underline{\quad}$，$b=\underline{\quad}$．

（6分）（2016•浙江）设函数 $\mathrm { ~ f ~ } \left( \mathrm { ~ x ~ } \right) ~ = \mathrm { x ^ { 3 } + 3 \mathrm { x ^ { 2 } + 1 } }$ ，已知 $\mathrm { a } \neq 0$ ，且 $\mathrm { ~ f ~ } \left( \mathrm { ~ x ~ } \right) \mathrm { ~ - ~ f ~ } \left( \mathrm { ~ a ~ } \right) = \left( \mathrm { ~ x ~ - ~ b ~ } \right)$ $( \mathrm { ~ x ~ } - \mathrm { ~ a ~ } ) \ ^ { 2 } , \ \mathrm { ~ x \in { R } ~ }$ ，则实数 $\mathrm { a } { = } \mathrm { ~ ~ { ~ - ~ 2 ~ } ~ ~ { ~ , ~ } ~ ~ { ~ b } { = } ~ ~ { ~ 1 ~ } ~ }$

（4分）（2016•浙江）设双曲线 $x ^ { 2 } - { \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } } = 1$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm { F } _ { 1 } , \ \mathrm { F } _ { 2 }$ ，若点P在双曲线 上，且 $\triangle \mathrm { F _ { 1 } P F _ { 2 } }$ 为锐角三角形，则 $\left| \mathrm { P F } _ { 1 } \right| + \left| \mathrm { P F } _ { 2 } \right|$ 的取值范围是 $( 2 { \sqrt { 7 } } , ~ 8 )$

（4 分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 ABCD，AB=BC=3，CD=1， ${ \mathrm { A D } } = { \sqrt { 5 } } ,$

$\angle A \mathrm { D C = 9 0 ^ { \circ } }$ ，沿直线AC将△ACD翻折成 $\triangle \mathrm { A C D } ^ { \prime }$ ，直线AC与 $\mathrm { B D } ^ { \prime }$ 所成角的余弦的最大值是$\frac { \sqrt { 6 } } { 6 }$

已知平面向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$，若 $\vec{e}$ 为平面单位向量，则 $|\vec{a}\cdot\vec{e}|+|\vec{b}\cdot\vec{e}|$ 的最大值是 $\sqrt{7}$．

（14 分）（2016•浙江）在 $\triangle \mathrm { A B C }$ 中，内角A，B，C所对的边分别为 ${ \mathrm { a } } , \ { \mathrm { b } } , \ { \mathrm { c } } ,$ ，已知$\mathrm { b { + c { = } 2 a c { \mathrm { o } s { B } } } }$

（1）证明： $\mathrm { A = 2 B ; }$

（2）若 $\mathrm { c o s B } { = } \frac { 2 } { 3 } ,$ 求 cosC 的值

（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，

∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3

（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及 $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ 可以得出AC⊥平面BCK，进而得出 $\mathrm { B F \bot A C }$ ．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出 $\mathrm { B F \bot C K }$ ，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）由 $\mathrm { B F \perp }$ 平面ACFD便可得出 $\angle \mathrm { B D F }$ 为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出 ${ \mathrm { B F } } { = } { \sqrt { 3 } } , ~ { \mathrm { D F } } { = } { \frac { 3 } { 2 } } ,$ 从而在 $\mathrm { R t } \triangle \mathrm { B D F }$ 中可以求出BD的值，从而得出 $\cos \angle B D F$ 的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值

（15分）（2016•浙江）如图，设抛物线 $\mathrm { { y ^ { 2 } { = } 2 p x } \left( p { > } 0 \right) }$ 的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于 $| \mathrm { A F } | \textrm { - } 1$

（Ⅰ）求 p 的值；

（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围