2016 北京卷 数学

（5 分）已知集合 $\mathsf { A } { = } \left\{ \mathsf { x } | | \mathsf { x } | { < } 2 \right\}$ ，集合 $\mathsf { B } = \{ \mathrm { ~ - ~ } 1 , \mathrm { ~ } 0 , \mathrm { ~ } 1 , \mathrm { ~ } 2 , \mathrm { ~ } 3 \}$ ，则A∩B=（　　）

（5分）若x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } - \mathbf { y } \leqslant 0 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant 3 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则2x+y的最大值为（

（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k值为（　　）

（5 分）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（　　）

（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）

正视图

侧视图

俯视图 A $\frac { 1 } { 6 }$ B $\frac 1 3$ C $\frac { 1 } { 2 }$ D．1

（5 分）将函数 $v = s i n ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$ 图象上的点 ${ \textsf { P } } ( { \frac { \pi } { 4 } } ,$ ，t）向左平移 $\mathsf { \pmb { \mathsf { S } } } \left( \mathsf { \pmb { \mathsf { S } } } > 0 \right)$ 个单位长度得到点 $\mathsf { P ^ { \prime } }$ ，若P′位于函数 $\scriptstyle \forall = \sin 2 x$ 的图象上，则（A $\mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 6 }$ B $\mathrm { t } { = } \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，s 的最小值为 $\frac { \pi } { 6 }$ C． $\mathrm { t } { = } \frac { 1 } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 3 }$ D $\mathrm { t } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，s的最小值为 $\frac { \pi } { 3 }$

（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　）

（5分）在 $( 1 - 2 \mathsf { x } ) \ 6$ 的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 2 }$ 的系数为　60　．（用数字作答）

（5分）在极坐标系中，直线 $\mathsf { p c o s } \Theta - \sqrt { 3 } \mathsf { p s i n } \Theta - 1 { = } 0$ 与圆 $\scriptstyle 0 = 2 \cos \theta$ 交于 A，B两点，则 $\left| \mathsf { A B } \right| = \begin{array} { r l } { 2 } & { { } } \end{array}$

（5 分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为等差数列， $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ 为其前 n 项和．若 $\mathtt { a } _ { 1 } = 6 , \mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 5 } = 0$ ，则 ${ \mathsf S } _ { 6 } \mathrm { = }$ 6

（5分）双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的渐近线为正方形OABC 的边OA，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2，则 $\mathtt { a } =$ 2

（5 分）设函数 $ f(x) = \begin{cases} x^3 - 3x, & x \leqslant a \\ -2x, & x > a \end{cases} $.
① 若 $ a = 0 $，则 $ f(x) $ 的最大值为 ______；
② 若 $ f(x) $ 无最大值，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______．

（13 分）在 $\triangle A B C$ 中， $\mathtt { a } ^ { 2 } + \mathtt { c } ^ { 2 } = \mathtt { b } ^ { 2 } + \sqrt { 2 } \mathtt { a } \mathtt { c }$

（Ⅰ）求∠B的大小；

（Ⅱ）求 $\sqrt { 2 } \cos A + \cos C$ 的最大值

（14 分）已知椭圆 $\mathsf C : \frac { \boldsymbol x ^ { 2 } } { \mathsf a ^ { 2 } } + \frac { \boldsymbol y ^ { 2 } } { \mathsf b ^ { 2 } } { \mathsf = } \mathsf { 1 } ( \mathsf a > \mathsf b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , \ A \ ( \mathsf { a } , \ 0 ) , \mathsf { B }$

（0，b），O（0，0）， $\triangle0 A B$ 的面积为 1

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点N．求证： $\left| \mathsf { A N } \right| \bullet \left| \mathsf { B M } \right|$ 为定值

（13 分）设数列 $\ A : ~ \mathsf { a } _ { 1 } , ~ \mathsf { a } _ { 2 } , ~ \ldots , ~ \mathsf { a } _ { \mathsf { N } } ~ ( { \mathsf { N } } \geq 2 )$ ）．如果对小于 ${ \textsf { n } } \left( 2 { \leqslant } { \mathsf { n } } { \leqslant } { \mathsf { N } } \right)$ 的每个正整数 k 都有 $\mathsf { a } _ { \mathsf { k } } < \mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ ，则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻”，记 G（A）是数列A 的所 $\vec { \exists } ^ { { \prime \prime } } G$ 时刻”组成的集合

（Ⅰ）对数列 $\mathsf { A } : ~ - ~ 2 , ~ 2 , ~ - ~ 1 , ~ 1 , ~ 3$ ，写出 G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 使得 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } > \mathsf { a } _ { 1 }$ ，则 ${ \mathsf { G } } ^ { \mathrm { ~ } } \left( { \mathsf { A } } \right) \neq \varnothing$

（Ⅲ）证明：若数列A满足 $a _ { n } - a _ { n - 1 } { \leqslant } 1 ( n { = } 2 , 3 , . . . , N )$ ），则G（A）的元素个数不小于 $\mathsf { a } _ { \mathsf { N } } - \mathsf { a } _ { 1 }$