2016 新课标 III 卷 · 文 数学

（5分）若 $z=4+3 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|}=$

（5分）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $\angle \mathrm{ABC}=$

（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为 1 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，B点表示四月的平均最低气温约为 $5^{\circ} \mathrm{C}$ ，下面叙述不正确的是（）

——平均最低气温 ——平均最高气温

（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M ， $\mathrm{I}, \mathrm{N}$ 中的一个字母，第二位是 $1,2,3,4,5$ 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）

（5分）若 $\tan \theta=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos 2 \theta=$（ ）

（5分）已知 $a=2^{\frac{4}{3}}, b=3^{\frac{2}{3}}, c=25^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

（5分）执行如图程序框图，如果输入的 $\mathrm{a}=4, \mathrm{~b}=6$ ，那么输出的 $\mathrm{n}=$

（5分）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}, \mathrm{BC}$ 边上的高等于 $\frac{1}{3} \mathrm{BC}$ ，则 $\sin \mathrm{A}=$（）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

（5分）在封闭的直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $A B \perp B C$ ， $A B=6, B C=8, A A_{1}=3$ ，则 $V$ 的最大值是（）

（5分）已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A$ ， B 分别为 C 的左，右顶点． P 为 C 上一点，且 $\mathrm{PF} \perp \mathrm{x}$ 轴，过点 A 的直线 $l$ 与线段 PF交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ．若直线 $B M$ 经过 $O E$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y+1 \geqslant 0 \\ x-2 y-1 \leqslant 0 \\ x \leqslant 1\end{array}\right.$ 则 $z=2 x+3 y-5$ 的最小值为 -10

（5分）函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x$ 的图象可由函数 $y=2 \sin x$ 的图象至少向右平移— $\frac{\pi}{3}$ —个单位长度得到．

（5分）已知直线｜：$x-\sqrt{3} y+6=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点，过 $A, B$ 分别作I的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点。则 $|\mathrm{CD}|=$

（5分）已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x \leq 0$ 时，$f(x)=e^{-x-1}-x$ ，则曲线 $y=f(x)$在点 $(1,2)$ 处的切线方程是 $\_\_\_\_$ $y=2 x$ ．

（12分）已知各项都为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n}{ }^{2}-\left(2 a_{n+1}-1\right) a_{n}-2 a_{n} { }_{+1}=0$.
（1）求 $a_{2}, a_{3}$ ；

（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

（12分）设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）证明当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1<\frac{x-1}{\ln x}<x$ ；
③设 $c>1$ ，证明当 $x \in(0,1)$ 时， $1+(c-1) x>c^{x}$ ．

在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos \alpha \\ y=\sin \alpha\end{array}\right.$（ $\alpha$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=2 \sqrt{2}$ 。
（1）写出 $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程和 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
②设点 P 在 $\mathrm{C}_{1}$ 上，点 Q 在 $\mathrm{C}_{2}$ 上，求 $|\mathrm{PQ}|$ 的最小值及此时 P 的直角坐标．