2021 上海卷 数学

已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 3 ，公差为 2 ，则 $a_{10}=$ $\_\_\_\_$ 21。
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解。

已知 $z=1-3 i$ ，则 $|\bar{z}-i|=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{5}$。
【思路分析】由已知求得 $\bar{z}-i$ ，再由复数模的计算公式求解．

已知圆柱的底面半径为 1 ，高为 2 ，则圆柱的侧面积为 $\_\_\_\_$ $4 \pi$ $\_\_\_\_$ ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可。

不等式 $\frac{2 x+5}{x-2}<1$ 的解集为＿$(-7,2)$ $\_\_\_\_$。
【思路分析】由已知进行转化 $\frac{x+7}{x-2}<0$ ，进行可求．

直线 $x=-2$ 与直线 $\sqrt{3} x-y+1=0$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{6}$。
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

若方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y=c_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=c_{2}\end{array}\right.$ 无解，则 $\left|\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ 0。
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案。

已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中，唯有 $x^{3}$ 的系数最大，则 $(1+x)^{n}$ 的系数和为 $\_\_\_\_$ 64 ．
【思路分析】由已知可得 $n=6$ ，令 $x=1$ ，即可求得系数和．

已知函数 $f(x)=3^{x}+\frac{a}{3^{x}+1}(a>0)$ 的最小值为 5 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 9。

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足＂一正、二定、三相等＂，该题只需将函数解析式变形成 $f(x)=3^{x}+1+\frac{a}{3^{x}+1}-1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件。

在无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}-a_{n}\right)=4$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是＿$(-4, ~ 0) \cup(0, ~ 4)-$

【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 $q$ 的取值范围，再由极限的运算知 $a_{1}=4$ ，从而得解。

某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 $\_\_\_\_$ 23种。

【思路分析】由题意知至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，$A B , D B , E B$ 的组合不符合题意，由此求出结果。

已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，以 $O$ 为顶点，$F_{2}$ 为焦点作抛物线交椭圆于 $P$ ，且 $\angle P F_{1} F_{2}=45^{\circ}$ ，则抛物线的准线方程是＿$x=1-\sqrt{2}$
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。

已知 $\theta>0$ ，存在实数 $\varphi$ ，使得对任意 $n \in N^{*}, ~ \cos (n \theta+\varphi)<\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\theta$ 的最小值是＿ $\frac{2 \pi}{5}$ ．
【思路分析】在单位圆中分析可得 $\theta>\frac{\pi}{3}$ ，由 $\frac{2 \pi}{\theta} \in N^{*}$ ，即 $\theta=\frac{2 \pi}{k}, ~ k \in N^{*}$ ，即可求得 $\theta$的最小值．

（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．

【思路分析】（1）由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．

（14分）已知 $A$、$B$、$C$ 为 $\triangle ABC$ 的三个内角，$a$、$b$、$c$ 是其三条边，$a=2$，$\cos C=-\dfrac{1}{4}$．
（1）若 $\sin A=2\sin B$，求 $b$、$c$；
（2）若 $\cos\left(A-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{4}{5}$，求 $c$．

（16分）已知函数 $f(x)=\sqrt{|x+a|}-a-x$．
（1）若 $a=1$，求函数的定义域；
（2）若 $a\neq0$，若 $f(ax)=a$ 有2个不同实数根，求 $a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $a$，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围．

（18分）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \neq 0$，对任意 $n \geq 2$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_1 = 5$，$a_2 = 3$，$a_4 = 2$，求 $a_3$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_1 = a_4 = a_7 = 0$，$a_2$、$a_5$、$a_8$ 为正数，求证：$a_2$、$a_5$、$a_8$ 成等比数列，并求出公比 $q$；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 $a_r = a_s = a_t = 0$，$2 < r < s < t$，且 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，求 $a_{r+1} + a_{s+1} + a_{t+1}$ 的最大值．