韦达定理符号代错高考易错题专题，共 21 道真题，覆盖 14 个年份、21 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。
22．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．
(1) $y^{2}=2 x+1$; (2) $a=\frac{3}{4}$
19．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho \cos \theta+1$ ．
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程；
②设直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），若 $C$ 与 $l$ 相交于 $A , B$ 两点，若 $|A B|=2$ ，求 $a$ 的值．
(1) $y^{2}=2 x+1$; (2) $a=\frac{3}{4}$
21．已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 ．
（1）求 $l$ 的斜率；
（2）若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$ ，求 $\triangle P A Q$ 的面积．
(1) -1; (2) $\frac{16 \sqrt{2}}{9}$ ．
13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$ ．
$\frac{16}{3}$
13．斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|=$
$\frac{16}{3}$
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_{1}(-1 , 0)$ ， $F_{2}(1,0)$ ．过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，在 $x$ 轴的上方，$l$ 与圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=4 a^{2}$ 交于点 $A$ ，与椭圆 $C$ 交于点 $D$ ．连结 $A F_{1}$ 并延长交圆 $F_{2}$ 于点 $B$ ，连结 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于点 $E$ ，连结 $D F_{1}$ ．
已知 $D F_{1}=\frac{5}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）求点 $E$ 的坐标．
(1) $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$; (2) $E\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$ ．
16．（5分）已知点 $M(-1,1)$ 和抛物线 $C: y^{2}=4 x$ ，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\angle A M B=90^{\circ}$ ，则 $k=$
$\_\_\_\_$ 2 ．
2
14．（5分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
$y= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$
21．（12分）已知 $A$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交 $E$于 $A, M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$M A \perp N A$ ．
（I）当 $|A M|=|A N|$ 时，求 $\triangle A M N$ 的面积
（II）当 $2|A M|=|A N|$ 时，证明：$\sqrt{3}<k<2$ ．
(1) $\frac{144}{49}$; (2) $\sqrt{3}<k<2$
20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$，原点 O 到经过两点 $(c, 0)$,
$(0, b)$ 的直线的距离为 $\frac{1}{2} c$．
（I）求椭圆 E 的离心率；
（II）如图， AB 是圆 $\mathrm{M}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$ 的一条直径，若椭圆 E 经过 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，求椭圆 E 的方程。
（I）$\frac{\sqrt{3}}{2}$；（II）$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$．
18、（本小题满分 12 分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（I）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（II）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系．并说明你的结论．
（III）证明：直线 $D F \perp$ 平面 $B E G$
7．（5分）过三点 $A(1,3), B(4,2), C(1,-7)$ 的圆交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $|M N|=$（ ）
C
21．（本小题满分 13 分）
如图，曲线 $C$ 由上半陏圆 $C_{1}: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0, y \geq 0)$ 和部分抛物线 $C_{2}: y=-x^{2}+1(y \leq 0)$ 连接而成，$C_{1}, C_{2}$ 的公共点为 $A, B$，其中 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $P, Q$（均异于点 $A, B$ ），若 $A P \perp A Q$，求直线 $l$ 的方程．
(1) $a=2, b=1$; (2) $y=-\frac{8}{3}(x-1)$
10．（5分）设抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点．若 $\mid A F|=3| B F \mid$ ，则 $I$ 的方程为（ ）
C
19．（14 分）已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的一个长轴顶点为 $\mathrm{A}(2,0)$ ，
离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ ，
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）当 $\triangle \mathrm{AMN}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ 时，求 k 的值．
(1) ∴ 椭圆 C 的方程为 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{2}=1$; (2) $\therefore \mathrm{k}= \pm 1$
17．（本小题满分 12 分）
设椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 过点 $(0,4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ ．
（1）求 $C$ 的方程；
（2）求过点（ $3, ~ 0$ ）且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．
(1) $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$; (2) $\left(\frac{3}{2},-\frac{6}{5}\right)$
14．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 $A, B$ 两点，$A, B$在 $x$ 轴上的正射影分别为 $D, C$ 。若梯形 $A B C D$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$ ，则 $p=$ $\_\_\_\_$ ．
2
19．（本小题共14分）
已知菱形 $A B C D$ 的顶点 $A, C$ 在椭圆 $x^{2}+3 y^{2}=4$ 上，对角线 $B D$ 所在直线的斜率为 1 ．
（I）当直线 $B D$ 过点 $(0,1)$ 时，求直线 $A C$ 的方程；
（II）当 $\angle A B C=60^{\circ}$ 时，求菱形 $A B C D$ 面积的最大值．
(1) x+y+2=0; (2) $4 \sqrt{3}$
15．（5分）已知 $F$ 是抛物线 $C$ ：$y^{2}=4 x$ 的焦点，过 $F$ 且斜率为 1 的直线交 $C$ 于 $A$ ，$B$ 两点．设 $|F A|>|F B|$ ，则 $|F A|$ 与 $|F B|$ 的比值等于 $\_\_\_\_$ $3+2 \sqrt{2}$。
$3+2 \sqrt{2}$
14．设双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ．过点 $F$ 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 $B$ ，则 $\triangle A F B$ 的面积为 $\_\_\_\_$。
$\frac{32}{15}$
20．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于 4 ，设点 $P$ 的轨迹
为 $C$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（ I ）写出 $C$ 的方程；
（II）若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，求 $k$ 的值；
（III）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．