2019 新课标 I 卷 数学

设复数z满足 $\big | z - \mathrm { i } \big | = 1$ ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ $( \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } \approx 0 . 6 1 8$ ，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ ． 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

函数 $\scriptstyle \overbrace { f ( x ) } = { \frac { \sin { x } + x } { \cos { x } + x ^ { 2 } } }$ 在[一π，π]的图像大致为

我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——

”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

如图是求 $\frac { 1 } { 2 + \displaystyle \frac { 1 } { 2 + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } }$ 的程序框图，图中空白框中应填入

曲线 $y = 3 ( x ^ { 2 } + x ) \mathrm { e } ^ { x }$ 在点(0,0)处的切线方程为

记 $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和．若 $a _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 } , a _ { 4 } ^ { 2 } = a _ { 6 }$ ，则S5=

已知双曲线C: $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别为 $F _ { 1 }$ ， $F _ { 2 }$ ，过 $F _ { 1 }$ 的直线与C的两 条渐近线分别交于A，B两点．若 ${ \overrightarrow { F _ { 1 } A } } = { \overrightarrow { A B } }$ ${ \overrightarrow { F _ { 1 } B } } \cdot { \overrightarrow { F _ { 2 } B } } = 0$ ，则C的离心率为

VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $( \sin B - \sin C ) ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } A - \sin B \sin C$

(1）求A;

(2) 若 ${ \sqrt { 2 } } a + b = 2 c$ ，求 $s \mathrm { i n } C$

如图，直四棱柱 $A B C D$

$A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的底面是菱形， $A A _ { 1 } { = } 4$ , AB=2, $\angle B A D { = } 6 0 ^ { \circ }$ ，E，M，N分别是BC， $B B _ { 1 }$ ， $A _ { 1 } D$ 的中点.

（1）证明： $M N / /$ 平面 $C _ { 1 } D E$

(2) 求二面角 $A – M A _ { 1 } – N$ 的正弦值.

已知抛物线 $C : \ y ^ { 2 } { = } 3 x$ 的焦点为F，斜率为 $\frac { 3 } { 2 }$ 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P

(1）若 $\scriptstyle | A F | + | B F | = 4$ ，求l的方程；

(2) 若 ${ \overrightarrow { A P } } = 3 { \overrightarrow { P B } }$ ，求 $\vert A B \vert$

[选修4-5：不等式选讲]

已知a，b，c为正数，且满足abc=1. 证明：

① $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { c } \leq a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 }$

② $( a + b ) ^ { 3 } + ( b + c ) ^ { 3 } + ( c + a ) ^ { 3 } \geq 2 4$