2022 新课标 I 卷 数学（新高考一卷）

若集合 $M=\{x \mid \sqrt{x}<4\}, \quad N=\{x \mid 3 x \geq 1\}$ ，则 $M \cap N=()$

若 $\mathrm{i}(1-z)=1$ ，则 $z+\bar{z}=(\quad)$

在 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，$B D=2 D A$ 。记 $\overrightarrow{C A}=\vec{m}, \overrightarrow{C D}=\vec{n}$ ，则 $\overrightarrow{C B}=$（）

南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。已知该水库水位为海拔 148.5 m 时，相应水面的面积为 $140.0 \mathrm{~km}^{2}$ ；水位为海拔 157.5 m 时，相应水面的面积为 $180.0 \mathrm{~km}^{2}$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 148.5 m 上升到 157.5 m 时，增加的水量约为 $(\sqrt{7} \approx 2.65) ~()$

从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）

记函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b(\omega>0)$ 的最小正周期为 $T$ ．若 $\frac{2 \pi}{3}<T<\pi$ ，且 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2\right)$ 中心对称，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=(\quad)$

设 $a=0.1 \mathrm{e}^{0.1}, b=\frac{1}{9}, c=-\ln 0.9$ ，则（ ）

已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 $36 \pi$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）

已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则

已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）

已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(1,1)$ 在抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 上，过点 $B(0,-1)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，则（ ）

已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）

$\left(1-\frac{y}{x}\right)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{6}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）。

写出与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和 $(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=16$ 都相切的一条直线的方程

若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．

已知椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), C$ 的上顶点为 $A$ ，两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $D, E$ 两点，$|D E|=6$ ，则 $\triangle A D E$ 的周长是
$\_\_\_\_$。

记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2$ ．

记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B}$ ．
（1）若 $C=\frac{2 \pi}{3}$ ，求 $B$ ；
（2）求 $\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

如图，直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4, \triangle A_{1} B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ．

（1）求 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；
（2）设 $D$ 为 $A_{1} C$ 的中点，$A A_{1}=A B$ ，平面 $A_{1} B C \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，求二面角 $A-B D-C$ 的正弦值．

已知点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a>1)$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为 0 ．
（1）求 $l$ 的斜率；
（2）若 $\tan \angle P A Q=2 \sqrt{2}$ ，求 $\triangle P A Q$ 的面积．

已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。