【解答】
（14分）（2008 • 山东）如图，设抛物线方程为 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0), \mathrm{M}$ 为直线 $\mathrm{y}=-2 \mathrm{p}$ 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$。
（I）求证： $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列；
（II）已知当 M 点的坐标为 $(2,-2 \mathrm{p})$ 时，$|\mathrm{AB}|=4 \sqrt{10}$．求此时抛物线的方程；
（III）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py}(\mathrm{p}>0)$ 上，其中，点 C 满足 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$（ O 为坐标原点）。若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）根据题意先设出 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 和 M 的坐标，对抛物线方程求导，进而表示出 AM， $B M$ 的斜率，则直线 $A M$ 和 $B M$ 的直线方程可得，联立后整理求得 $2 x_{0}=x_{1}+x_{2}$。推断出 $A$， $\mathrm{M}, ~ \mathrm{~B}$ 三点的横坐标成等差数列。
（II）利用（I）的结论，$x_{0}=2$ 代入抛物线方程整理推断出 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4 x-4 p^{2}=0$的两根，利用韦达定理求得 $x_{1}+x_{2}$ 的值，表示出直线 AB 的方程，利用弦长公式求得 $|\mathrm{AB}|$，进而求得 $p$，则抛物线的方程可得。
（III）设出 D 点的坐标，进而表示出 C 的坐标，则 CD 的中点的坐标可得，代入直线 AB的方程，把 D 点坐标代入抛物线的方程，求得 $\mathrm{x}_{3}$，然后讨论 $\mathrm{x}_{0}=0$ 和 $\mathrm{x}_{0} \neq 0$ 时，两种情况，分析出答案。
【解答】解：（ I ）证明：由题意设
$\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \frac{\mathrm{x}_{1}^{2}}{2 \mathrm{p}}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \frac{\mathrm{x}_{2}^{2}}{2 \mathrm{p}}\right), \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}, \mathrm{M}\left(\mathrm{x}_{0},-2 \mathrm{p}\right)$.
由 $x^{2}=2 p y$ 得 $y=\frac{x^{2}}{2 p}$，得 $y^{\prime}=\frac{x}{p}$，
所以 $\mathrm{k}_{\mathrm{MA}}=\frac{\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{p}}, \mathrm{k}_{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{x}_{2}}{\mathrm{p}}$．
因此直线 MA 的方程为 $\mathrm{y}+2 \mathrm{p}=\frac{\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right)$，
直线 $M B$ 的方程为 $y+2 p=\frac{x_{2}}{p}\left(x-x_{0}\right)$．
所以 $\frac{\mathrm{x}_{1}^{2}}{2 \mathrm{p}}+2 \mathrm{p}=\frac{\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{0}\right)$，①$\frac{\mathrm{x}_{2}^{2}}{2 \mathrm{p}}+2 \mathrm{p}=\frac{\mathrm{x}_{2}}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{0}\right)$．
由①、②得 $\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=x_{1}+x_{2}-x_{0}$，
因此 $x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，即 $2 x_{0}=x_{1}+x_{2}$。
所以 $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 三点的横坐标成等差数列。
（II）解：由（I）知，当 $\mathrm{x}_{0}=2$ 时，
将其代入①、②并整理得：$x_{1}{ }^{2}-4 x_{1}-4 p^{2}=0, x_{2}{ }^{2}-4 x_{2}-4 p^{2}=0$，
所以 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4 x-4 p^{2}=0$ 的两根，
因此 $x_{1}+x_{2}=4, x_{1} x_{2}=-4 p^{2}$，
又 $_{\mathrm{k}_{\mathrm{AB}}}=\frac{\frac{\mathrm{x}_{2}^{2}}{2 \mathrm{p}}-\frac{\mathrm{x}_{1}^{2}}{2 \mathrm{p}}}{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}=\frac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2 \mathrm{p}}=\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}}$，
所以 $\mathrm{k}_{\mathrm{AB}}=\frac{2}{\mathrm{p}}$．
由弦长公式得 $|\mathrm{AB}|=\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}} \sqrt{\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}\right)^{2}-4 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{\mathrm{p}^{2}}} \sqrt{16+16 \mathrm{p}^{2}}$．
又 $|A B|=4 \sqrt{10}$，
所以 $\mathrm{p}=1$ 或 $\mathrm{p}=2$，
因此所求抛物线方程为 $x^{2}=2 y$ 或 $x^{2}=4 y$．
（III）解：设 $D\left(x_{3}, y_{3}\right)$，由题意得 $C\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right)$，
则 CD 的中点坐标为 $Q\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{2}\right)$，
设直线 AB 的方程为 $\mathrm{y}-\mathrm{y}_{1}=\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}}\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}\right)$，
由点 $Q$ 在直线 $A B$ 上，并注意到点 $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$ 也在直线 $A B$ 上，
代入得 $y_{3}=\frac{x_{0}}{p} x_{3}$．
若 D $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ 在抛物线上，则 $x_{3}{ }^{2}=2 p y_{3}=2 x_{0} x_{3}$，
因此 $x_{3}=0$ 或 $x_{3}=2 x_{0}$。
即 $\mathrm{D}(0,0)$ 或 $\mathrm{D}\left(2 \mathrm{x}_{0}, \frac{2 \mathrm{x}_{0}^{2}}{\mathrm{p}}\right)$．
①当 $x_{0}=0$ 时，则 $x_{1}+x_{2}=2 x_{0}=0$，此时，点 $M(0,-2 p)$ 适合题意．
②当 $x_{0} \neq 0$，对于 $D(0,0)$，此时 $C\left(2 x_{0}, \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2 p}\right), k_{C D}=\frac{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2 p}}{2 x_{0}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4 p x_{0}}$，
又 $_{\mathrm{k}_{\mathrm{AB}}}=\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$，
所以 $k_{A B} \cdot k_{C D}=\frac{x_{0}}{p} \cdot \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4 p x_{0}}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{4 p^{2}}=-1$，
即 $x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}=-4 p^{2}$，矛盾。
对于 $\mathrm{D}\left(2 \mathrm{x}_{0}, \frac{2 \mathrm{x}_{0}^{2}}{\mathrm{p}}\right)$，因为 $\mathrm{C}\left(2 \mathrm{x}_{0}, \frac{\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}}{2 \mathrm{p}}\right)$，此时直线 CD 平行于 y 轴，
又 $_{\mathrm{k}_{\mathrm{AB}}}=\frac{\mathrm{x}_{0}}{\mathrm{p}} \neq 0$，
所以直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，
所以 $x_{0} \neq 0$ 时，不存在符合题意的 $M$ 点。
综上所述，仅存在一点 $\mathrm{M}(0,-2 \mathrm{p})$ 适合题意．
参与本试卷答题和审题的老师有：wubh2011；rxl；yhx01248；翔宇老师；涨停；qiss； wdlxh；wdnah；zlzhan；sllwyn；杨南；danbo7801；小张老师；wsj1012；邢新丽；zhwsd （排名不分先后）
##
2016年4月12日
