2011 江苏卷 数学

已知集合 $A=\{-1,1,2,4\}, B=\{-1,0,2\}$ ，则 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ A。

函数 $f(x)=\log _{5}(2 x+1)$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ A。

从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
$\_\_\_\_$ A。

某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 $10,6,8,5,6$ ，则该组数据的方差 $s^{2}=$
$\_\_\_\_$ A ．

已知 $\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2$ ，则 $\frac{\tan x}{\tan 2 x}$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过坐标原点的一条直线与函数 $f(x)=\frac{2}{x}$ 的图象交于 $P , Q$ 两点，则线段 $P Q$ 长的最小值是 $\_\_\_\_$ A ．

函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A, \omega, \varphi$ 是常数， $A>0, \omega>0)$ 的部分图象如图所示，则 $f(0)$ 的

值是 $\_\_\_\_$ ．

已知 $\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}$ 是夹角为 $\frac{2}{3} \pi$ 的两个单位向量，$\vec{a}=\overrightarrow{e_{1}}-2 \overrightarrow{e_{2}}, \vec{b}=k \overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，则实数 $k$ 的值为 $\_\_\_\_$ A ．

已知实数 $a \neq 0$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+a, x<1 \\ -x-2 a, x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(1-a)=f(1+a)$ ，则 $a$ 的值为
$\_\_\_\_$
A。

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)=e^{x}(x>0)$ 的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$ ，设线段 $M N$的中点的纵坐标为 $t$ ，则 $t$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ A ．

设 $1=a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{7}$ ，其中 $a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}$ 成公比为 $q$ 的等比数列，$a_{2}, a_{4}, a_{6}$ 成公差为 1 的等差数列，则 $q$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

设集合 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{m}{2} \leq(x-2)^{2}+y^{2} \leq m^{2}\right., x, y \in R\right\}, B=\{(x, y) \mid 2 m \leq x+y \leq 2 m+1, x, y \in R\}$ ，若 $A \cap B \neq \varnothing$ ，则实数 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ A ．

（本小题满分 14 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
（1）若 $\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)=2 \cos A$ ，求 $A$ 的值；
（2）若 $\cos A=\frac{1}{3}, b=3 c$ ，求 $\sin C$ 的值．

17．（本小题满分14分）

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 $A E = F B = x ( \mathrm { c m } )$

（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？

（2）某厂商要求包装盒的容积 $V ~ ( \mathrm { c m } ^ { 3 } )$ 最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，M N, 分别是椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 2 } } = 1$ 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 $P , A$ 两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k

①当直线PA平分线段MN，求k的值；

②当k = 2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意 $k > 0$ ，求证： $P A \perp P B$

（本小题满分16分）
设 $M$ 为部分正整数组成的集合，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，已知对任意整数 $k \in M$ ，当 $n>k$ 时，$S_{n+k}+S_{n-k}=2\left(S_{n}+S_{k}\right)$ 都成立。
（1）设 $M=\{1\}, a_{2}=2$ ，求 $a_{5}$ 的值；
②设 $M=\{3,4\}$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学II（附加题）

（本小题满分 10 分）
如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2$ ， $A B=1$ ，点 $N$ 是 $B C$ 的中点，点 $M$ 在 $C C_{1}$ 上．

设二面角 $A_{1}-D N-M$ 的大小为 $\theta$ ．
①当 $\theta=90^{\circ}$ 时，求 $A M$ 的长；
②当 $\cos \theta=\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时，求 $C M$ 的长．