2011 地方卷 数学

（3分）（2011•山东）设集合 $\mathbf { M } { = } \{ \mathbf { x } | \mathbf { x } ^ { 2 } { + } \mathbf { x } - 6 { < } 0 \}$ $\mathrm { N } { = } \{ \mathrm { x } | 1 { \leq } \mathrm { x } { \leq } 3 \}$ ，则M∩N=（　　）A [1，2） B [1，2] C （2，3] D [2，3]

（3分）（2011•山东）复数 $\mathrm { z } { = } \frac { 2 - \mathrm { i } } { 1 + \mathrm { i } }$ （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

（3分）（2011•山东）若点（a，9）在函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = 3 ^ { \mathbf { x } }$ 的图象上，则 $\mathrm { { t a n } \frac { \bar { a } \mathcal { T } } { \bar { \beta } } }$ 的值为（　　） A 0 B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C 1 D $\sqrt { 3 }$

（3分）（2011•山东）若函数f（x）=sinωx（ω>0）在区间$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递增，在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}]$上单调递减，则ω=（　　）

（3分）（2011•山东）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的两条渐近线均和圆C： $\scriptstyle \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } \ - \ 6 \mathbf { x } + 5 = 0$ 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　） A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 5 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 4 } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 ^ { 2 } } = 1$
C $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 3 ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 6 ^ { 2 } } = 1$ D $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 6 ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 ^ { 2 } } = 1$

（3分）（2011•山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f$( \mathbf { \boldsymbol { x } } ) = \mathbf { \boldsymbol { x } } ^ { 3 } - \mathbf { \boldsymbol { x } }$ ，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（　　）A 6 B 7 C 8 D 9

（3分）（2011•山东）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：

①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；

③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图

其中真命题的个数是（　　）

正（主）视图

俯视图

A 3 B 2 C 1 D 0

（3分）（2011•山东）执行如图所示的程序框图，输入l=2， $\mathrm { m } { = } 3$ ，n=5，则输出的y的 值是

（3分）（2011•山东）若 $( \mathbf { x } - \frac { \sqrt { \bar { \mathbf { a } } } } { \mathbf { x } ^ { 2 } } )$ ⁶式的常数项为60，则常数a的值为

（3分）（2011•山东）设函数f $\mathbf { \Sigma } ( \mathbf { x } ) = \frac { \mathbf { x } } { \mathbf { x } + \mathbf { \bar { 2 } } } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { x } { > } 0 )$ ，观察：

$$ \mathrm { f } _ { 1 } \mathrm { ( } \mathbf { x } \mathrm { ) } = \mathrm { f } \mathrm { ( } \mathbf { x } \mathrm { ) } = \frac { \mathbf { x } } { \mathbf { x } + \mathrm { 2 } } , $$

$$ { \bf f } _ { 2 } \left( { \bf x } \right) = { \bf f } \left( { \bf f } _ { 1 } \left( { \bf x } \right) \ \right) = \frac { \bf x } { 3 { \bf x } + 4 } , $$

$$ { \bf f } _ { 3 } \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ { \bf ~ x ~ } ~ ) ~ } = { \bf f } \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ { \bf ~ f } ~ _ 2 \mathrm { ~ \tiny ~ ( ~ x ~ ) ~ } ~ ) ~ } = \frac { \bf x } { 7 { \bf x } + 8 } , $$

$$ { \bf f } _ { 4 } \mathrm { ~ \bf ~ ( ~ } { \bf ~ x } ) = { \bf f } \mathrm { ~ \bf ~ ( ~ } { \bf ~ f } _ { 3 } \mathrm { ~ \bf ~ ( ~ x ~ ) ~ } \mathrm { ~ \bf ~ ) ~ } = \frac { \bf x } { 1 5 { \bf x } + 1 6 } , $$

根据以上事实，由归纳推理可得：

当 $\mathrm { \Delta } _ { \mathrm { | n \in N } } \mathrm { \ast }$ 且n≥2时， $\mathrm { f _ { n } ~ ( \mathbf { x } ) \Sigma \Sigma \Sigma \Sigma } = \mathrm { f _ { \ n \Sigma - 1 } \Sigma \Sigma ( \mathbf { x } ) \Sigma \Sigma } $ =

（3分）（2011•山东）已知函数f $\operatorname { ( x ) } \ = \log _ { \mathrm { a } } \mathrm { x } + \mathrm { x } - \mathrm { b } \ \operatorname { ( a > 0 }$ ，且a≠1）．当2 $< a < 3 < b <$
4时，函数f（x）的零点 $\mathbf { x } _ { 0 } \in \ ( \mathbf { n } , \mathbf { n } + 1 )$ $\mathrm { \tt n } { \in } \mathrm { \tt N } ^ { \ast }$ ，则n=

（12分）（2011•山东）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac { \cos A - 2 \cos C } { \cos B } = \frac { 2 c - a } { b }$

（Ⅰ）求 $\frac { \mathsf { s i n c } } { \mathsf { s i n A } }$ 的值；

（Ⅱ）若 $\cos B = \frac { 1 } { 4 } , b = 2$ ，求 $\triangle \mathrm { A B C }$ 的面积S

（12分）（2011•山东）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ

（12分）（2011•山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=2EF

（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；

（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角 $\mathrm { A } - \mathrm { B F } - \mathrm { C }$ 的大小