2012 地方卷 · 理 数学

已知全集 $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，集合 $A=\{0,1,3,5,8\}$ ，集合 $B=\{2,4,5,6,8\}$ ，则 $\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)$

复数 $\frac{2-i}{2+i}=$

已知两个非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ，则下面结论正确的是

已知命题 $p: \forall x_{1}, x_{2} \in R,\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right) \geqslant 0\right.$ ，则 $\neg p$ 是

一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为

在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{4}+a_{8}=16$ ，则该数列前 11 项和 $S_{11}=$

已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\sqrt{2}, \alpha \in \mathbf{( 0 , ~ )}$ ，则 $\tan \alpha=$

设变量 $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ 满足 $\left\{\begin{array}{c}x-y \leq 10 \\ 0 \leq x+y \leq 20 \text { 则 } \mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{+} \mathbf{3} \boldsymbol{y} \text { 的最大值为 } \\ 0 \leq y \leq 15\end{array}\right.$

执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值是

在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ．现作一矩形，边长分别等于线段 $\mathrm{AC}, \mathrm{CB}$ 的长，则该矩形面积小于 $32 \mathrm{~cm}^{3}$ 的概率为

设函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})(x \in R)$ 满足 $\boldsymbol{f}(-x)=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\mathbf{2}-\boldsymbol{x})$ ，且当 $x \in[0,1]$ 时， $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathbf{3}}$ ．又函数 $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=|\boldsymbol{x} \cos (\pi x)|$ ，则函数 $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ 上的零点个数为

若 $x \in[0,+\infty)$ ，则下列不等式恒成立的是

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 $\_\_\_\_$。

已知等比数列 $\left\{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\right\}$ 为递增数列，且 $a_{5}^{2}=a_{10}, 2\left(a_{n}+a_{n+2}\right)=5 a_{n+1}$ ，则数列 $\left\{\boldsymbol{a}_{\boldsymbol{n}}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=$ $\_\_\_\_$。

已知 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 为抛物线 $x^{2}=2 y$ 上两点，点 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}$ 的横坐标分别为 $\mathbf{4},-\mathbf{2}$ ，过 $\boldsymbol{P} , \boldsymbol{Q}$ 分别作抛物线的切线，两切线交于 $A$ ，则点 $A$ 的纵坐标为 $\_\_\_\_$。

已知正三棱锥 $P-\boldsymbol{A B C}$ ，点 $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 都在半径为 $\sqrt{3}$ 的求面上，若 $\boldsymbol{P A}, \boldsymbol{P B}, \boldsymbol{P C}$ 两两互相垂直，则球心到截面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$。

（本小题满分 12 分）
在 $\triangle A B C$ 中，角 $\boldsymbol{A} , \boldsymbol{B} , \boldsymbol{C}$ 的对边分别为 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 。角 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 成等差数列。
（I）求 $\cos B$ 的值；
（II）边 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 成等比数列，求 $\sin A \sin C$ 的值。

（18）（本小题满分 12 分）

如图，直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \angle B A C=90^{\circ}$ ， $A B=A C=\lambda A A^{\prime}$ ，点 $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}$ 分别为 $A^{\prime} B$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点。
（ I ）证明：$M N / /$ 平面 $A^{/} A C C^{/}$；
（II）若二面角 $A^{\prime}-M N-C$ 为直二面角，求 $\lambda$ 的值。

（本小题满分 12 分）

如图，椭圆 $C_{0}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\left(a>b>0, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\right.$ 为常数），动圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=t_{1}^{2}$ ， $b<t_{1}<a$ 。点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{0}$ 的左，右顶点，$C_{1}$ 与 $C_{0}$ 相交于 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 四点。
（I）求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 M 的轨迹方程；
（ II ）设动圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}=t_{2}^{2}$ 与 $C_{0}$ 相交于 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}$ 四点，其中 $b<t_{2}<a$ ， $t_{1} \neq t_{2}$ 。若矩形 $A B C D$ 与矩形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 的面积相等，证明：$t_{1}^{2}+t_{2}^{2}$ 为定值。

（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标 $x O y$ 中，圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ ，圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 。
（I）在以 $\boldsymbol{o}$ 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的交点坐标（用极坐标表示）；
（II）求出 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的参数方程。