2012 地方卷 数学

在等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 中， $a _ { 2 } = 1 , a _ { 4 } = 5$ ，则 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 5 项和 $S _ { 5 } =$

不等式 ${ \frac { x - 1 } { 2 x + 1 } } \leq 0$ 的解集为（A） $\left( - \frac { 1 } { 2 } , 1 \right]$ （B） $\left[ - { \frac { 1 } { 2 } } , 1 \right]$ （C） $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 2 } \right) \cup [ 1 , + \infty )$ （D）

$$ \Big [ - \infty , - \frac { 1 } { 2 } \Big ] \bigcup [ 1 , + \infty ) $$

对任意的实数 k，直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2$ 的位置关系一定是（A）相离 （B）相切 （C）相交但直线不过圆心 （D）相交且直线过圆心【答案】：C

$\left( { \sqrt { x } } + { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { x } } } } \right) ^ { 8 }$ 的展开式中常数项为（A） $\frac { 3 5 } { 1 6 }$ （B） $\frac { 3 5 } { 8 }$ （C） $\frac { 3 5 } { 4 }$ （D）105

设 $\tan\alpha,\tan\beta$ 是方程 $x^2-3x+2=0$ 的两根，则 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值

设 $x , y \in R$ ,向量 $\stackrel { } { a } = ( x , 1 ) , \stackrel { } { b } = ( 1 , y ) , \stackrel { } { c } = ( 2 , - 4 )$ ，且 $\vec { a } \perp \vec { c } , \vec { b } / / \vec { c }$ ，则| ${ \vec { a } } + { \vec { b } } \left| = \right.$

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且以 $2$ 为周期，则 “$f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数” 是 “$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数” 的

设函数 f x( ) 在 R 上可导，其导函数为 f x¢( )，且函数 $y = ( 1 - x ) f ^ { \prime } ( x )$ 的图像如题

（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

（A）函数 f x( ) 有极大值 f(2) 和极小值 f(1)

（B）函数 f x( ) 有极大值 f( 2)- 和极小值 f(1)

（C）函数 f x( ) 有极大值 f(2) 和极小值 f( 2)-

题(8)图

（D）函数 f x( ) 有极大值 f( 2)- 和极小值 f(2)

设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，

$\sqrt { 2 }$ 和a，且长为a的棱与长为 $\sqrt { 2 }$ 的棱异面，则a
的取值范围是

设平面点集 $A = \left\{ ( x , y ) \left| ( y - x ) ( y - { \frac { 1 } { x } } ) \geq 0 \right. \right\} , B = \left\{ ( x , y ) { \big | } ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } \leq 1 \right\}$ ，则$A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为

若 $( 1 + \mathrm { i } ) ( 2 + \mathrm { i } ) = a + b \mathrm { i }$ ，其中 $a , b \in R ,$ i为虚数单位，则 $a + b =$ ；【答案】4

$\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + 5 n } - n } } =$

设 $\Delta A B C$ 的内角A B C, , 的对边分别为 $^ { a , b , c }$ ，且 $\cos A = { \frac { 3 } { 5 } } , \cos B = { \frac { 5 } { 1 3 } } , b = 3$ , 则
c =

过抛物线 $y ^ { 2 } = 2 x$ 的焦点F 作直线交抛物线于A B, 两点，若 $\lvert A B \rvert = \frac { 2 5 } { 1 2 } , \lvert A F \rvert < \lvert B F \rvert$
则
$\left| A F \right| =$

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课的概率为 （用数字作答）.

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

设函数 $f ( x ) = a \ln x + { \frac { 1 } { 2 x } } + { \frac { 3 } { 2 } } x + 1$ ，其中在 $a \in R$ ，曲线 $y = f ( x )$ 在点 (1, (1))f 处的切线垂直于 y 轴（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f x( )极值

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ，线段 $O F _ { 1 } , O F _ { 2 }$ 的中点分别为 $B _ { 1 } , B _ { 2 }$ ，且 $\triangle A B _ { 1 } B _ { 2 }$ 是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 $B _ { 1 }$ 作直线l交椭圆于 $P , Q , \ P B _ { 2 } \bot Q B _ { 2 }$ ，求直线l的方程

（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）已知 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}=a_2S_n+a_1$，其中 $a_2\neq0$ （Ⅰ）求证：$\{a_n\}$ 首项为 1 的等比数列；（Ⅱ）若 $a_2>-1$，求证：$S_n\leq\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，并给指出等号成立的充要条件。