2012 地方卷 · 理 数学

在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1, a_{4}=5$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项和 $S_{5}=$

不等式 $\frac{x-1}{2 x+1} \leq 0$ 的解集为

对任意的实数 $k$ ，直线 $y=k x+1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 的位置关系一定是

$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{8}$ 的展开式中常数项为

设 $\tan \alpha, \tan \beta$ 是方程 $x^{2}-3 x+2=0$ 的两根，则 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值

设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a}=(x, 1), \vec{b}=(1, y), \vec{c}=(2,-4)$ ，且 $\vec{a} \perp \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$

已知 $f(x)$ 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则＂$f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的增函数＂是＂$f(x)$ 为 $[3,4]$ 上的减函数＂的

设函数 $f(x)$ 在 R 上可导，其导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，且函数 $y=(1-x) f^{\prime}(x)$ 的图像如题
（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

设四面体的六条棱的长分别为 $1,1,1,1$ ， $\sqrt{2}$ 和 $a$ ，且长为 $a$ 的棱与长为 $\sqrt{2}$ 的棱异面，则 $a$的取值范围是

设平面点集 $A=\left\{(x, y) \left\lvert\,(y-x)\left(y-\frac{1}{x}\right) \geq 0\right.\right\}, B=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\right\}$ ，则 $A \cap B$ 所表示的平面图形的面积为

若 $(1+\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=\mathrm{a}+\mathrm{bi}$ ，其中 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，则 $a+b=$ $\_\_\_\_$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+5 n}-n}=$ $\_\_\_\_$。

设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos A=\frac{3}{5}, \cos B=\frac{5}{13}, b=3$ ，则 $c=$ $\_\_\_\_$

过抛物线 $y^{2}=2 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|A B|=\frac{25}{12},|A F|<|B F|$ ，则
$|A F|=$ $\_\_\_\_$。

某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个 1 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为 $\_\_\_\_$ （用数字作答）．

（本小题满分 13 分，（I）小问 6 分，（II）小问 7 分）
设函数 $f(x)=a \ln x+\frac{1}{2 x}+\frac{3}{2} x+1$ ，其中在 $a \in R$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴（I）求 a 的值；（II）求函数 $f(x)$ 极值．

（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票．约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且各次投篮互不影响。（I）求甲获胜的概率；（II）求投篮结束时甲的投篮次数 $\xi$ 的分布列与期望

（本小题满分 13 分，（I）小问 8 分，（II）小问 5 分）设 $f(x)=4 \cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)-\cos (2 \omega x+\pi)$ 其中 $\omega>0$（I）求函数 $y=f(x)$ 的值域；（II）若 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为增函数，求 $\omega$ 的最大值