2012 地方卷 · 文 数学

4．若 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 \alpha$

5．观察下列事实：$|x|+|y|=1$ 的不同整数解 $(x, y)$ 的个数为 $4,|x|+|y|=2$ 的不同整数解 $(x, y)$ 的个数为 $8,|x|+|y|=3$ 的不同整数．解 $(x, y)$ 的个数为 $12, \cdots$ ，则 $|x|+|y|=20$ 的不同整数解 $(x, y)$ 的个数为

6．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支分布如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为

8）椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右顶点分别是 $A, B$ ，左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，若 $\left|A F_{1}\right|,\left|F_{1} F_{2}\right|,\left|F_{1} B\right|$ 成等比数列，则此椭圆的离心率为

9）已知 $f(x)=\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，若 $a=f(\lg 5), b=f\left(\lg \frac{1}{5}\right)$ ，则

11．不等式的 $\frac{x^{2}-9}{x-2}>0$ 的解集是

12．设单位向量 $\vec{m}=(x, y), \vec{b}=(2,-1)$ ，若 $\vec{m} \perp \vec{b}$ ，则 $|x+2 y|=$ $\_\_\_\_$ ，

13．等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，公比不为 1 ，若 $a_{1}=1$ ，且对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $a_{n+2}+a_{n+1}-2 a_{n}=0$ ，则 $S_{5}=$

14．过直线 $x+y-2 \sqrt{2}=0$ 上点 P 作 $x^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线，若两条切线的夹角是 $60^{0}$ ，则点 P 的坐标是

15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

20．（本小题满分 13 分）已知三点 $O(0,0), A(-2,1), B(2,1)$ ，曲线上一点 $M(x, y)$ 满足
$|\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}|=\overrightarrow{O M} \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})+2$（1）求曲线 $C$ 的方程（2）点 $Q\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(-2<x_{0}<2\right)$ 是曲线 $C$ 上的动点，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$ ，点 $P$ 的坐标是 $(0,1), l$ 与 $P A, P B$ 分别交于点 $D, E$ ，求 $\triangle Q A B$ 与 $\triangle P D E$ 的面积之比。

21．（本小题满分 14 分）已知函数 $f(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) e^{x}$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，且满足
$f(0)=1, f(1)=0$（I）求 $a$ 的取值范围；（II）设 $g(x)=f(x)-f^{\prime}(x)$ ，求在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值

（本小题满分12分）在$\triangle ABC$中，角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$，已知$3\cos(B-C)-1=6\cos B\cos C$．（1）求$\cos A$（2）若$a=3$，$\triangle ABC$的面积为$2\sqrt{2}$，求$b$、$c$

（本小题满分12分）已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=kc^n-k$（其中$c,k$为常数），且$a_2=4,a_6=8a_3$（Ⅰ）求$a_n$；（Ⅱ）求数列$\{na_n\}$的前$n$项和$T_n$