2012 地方卷 · 文 数学

已知向量 $\vec{a}=(1,-1), \vec{b}=(2, x)$ ．．若 $\vec{a} \bullet \vec{b}=1$ ，则 $\mathrm{x}=$

已知全集 $U=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，集合 $A=\{0,1,3,5,8\}$ ，集合 $B=\{2,4,5,6,8\}$ ，则 $\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)=$

复数 $\frac{1}{1+i}=$

在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{4}+a_{3}=16$ ，则 $a_{2}+a_{10}=$

已知命题 $p: \forall x_{1}, x_{2} \in \mathrm{R},\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{2}-x_{1}\right) \geqslant 0$ ，则 $\neg p$ 是

已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\sqrt{2}, \alpha \in(0, \pi)$ ，则 $\sin 2 \alpha=$

将圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+1=0$ 平分的直线是

函数 $y=\frac{1}{2} x^{2}-\ln x$ 的单调递减区间为

设变量 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \leq 10, \\ 0 \leq x+y \leq 20, \text { 则 } 2 x+3 y \text { 的最大值为 } \\ 0 \leq y \leq 15,\end{array}\right.$

在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C ．现作一矩形，邻边长分别等于线段 $\mathrm{AC}, \mathrm{CB}$ 的长，则该矩形面积大于 $20 \mathrm{~cm}^{2}$ 的概率为

已知 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 为抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 上两点，点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 的横坐标分别为 $4,-2$ ，过 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A ，则点 A 的纵坐标为

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ ．

已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列。若 $\mathrm{a}_{1}>0$ ，且 $2\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}+2}\right)=5 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=$ $\_\_\_\_$ ．

已知双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ ，点 $F_{1}, F_{2}$ 为其两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点，若 $P F_{1} \perp P F_{2}$ ，则 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

已知点 $\mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 是球 O 表面上的点， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 正方形。若 $P A=2 \sqrt{6}$ ，则 $\triangle O A B$ 的面积为

（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 $A B C-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \angle B A C=90^{\circ}$ ，
$A B=A C=\sqrt{2}, \mathrm{AA}^{\prime}=1$ ，点 $M, N$ 分别为 $A^{\prime} B$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 的中点。
（ I ）证明：$M N / /$ 平面 $A^{\prime} A C C^{\prime}$ ；
（II）求三棱锥 $A^{\prime}-M N C$ 的体积。
（锥体体积公式 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）

（本小题满分 12 分）
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为＂体育迷＂，已知＂体育迷＂中有 10名女性。
（I）根据已知条件完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并据此资料你是否认为＂体育迷＂与性别有关？

非体育迷 体育迷 合计

> 男
> 女
> 合计

（II）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为＂超级体育迷＂，已知＂超级体育迷＂中有 2 名女性，若从＂超级体育迷＂中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率。

附 $\chi^{2}=\frac{n\left(n_{11} n_{22}-n_{12} n_{21}\right)^{2}}{n_{1+} n_{2+} n_{+1} n_{+2}}$,

$$ \begin{array}{lll} P\left(x^{2} \geq k\right) & 0.05 & 0.01 \\ \mathrm{k} & 3.841 & 6.635 \end{array} $$

（本小题满分 12 分）
如图，动圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=t^{2}, 1<\mathrm{t}<3$ ，
与椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 四点，点 $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C_{2}$ 的左，右顶点。
（I）当 $t$ 为何值时，矩形 $A B C D$ 的面积取得最大值？并求出其最大面积；
（II）求直线 $A A_{1}$ 与直线 $A_{2} B$ 交点 $M$ 的轨迹方程。

（本小题满分 12 分）
设 $f(x)=\ln x+\sqrt{x}-1$ ，证明：
（I）当 $\mathrm{x}>1$ 时，$f(x)<\frac{3}{2}(x-1)$ ；
（II）当 $1<x<3$ 时，$f(x)<\frac{9(x-1)}{x+5}$ 。

（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标 $x O y$ 中，圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$ ，圆 $C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=4$ 。
（I）在以 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_{1}, C_{2}$ 的交点坐标（用极坐标表示）；
（II）求圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的参数方程。