2012 地方卷 数学

复数 $(2+i)^2$ 等于

已知集合 $M=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$，$N=\{-2,2\}$，下列结论成立的是

已知向量 $\mathbf{a}=(x-1,2)$，$\mathbf{b}=(2,1)$，则 $\mathbf{a}\perp\mathbf{b}$ 的充要条件是

一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{5}=1$ 的右焦点为 $(3,0)$，则该双曲线的离心率等于

直线 $x+\sqrt{3}y-2=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 相交于 A,B 两点，则弦 AB 的长度等于

设 $f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}1, & x\text{为有理数} \\ 0, & x\text{为无理数}\end{cases}$，则 $f(g(\pi))$ 的值为

若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y - 3 \leq 0 } \\ { x - 2 y - 3 \leq 0 } \\ { x \geq m } \end{array} } \right.$ ，则实数m的最大值为

数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的通项公式 $a _ { _ n } = n \cos { \frac { n \pi } { 2 } }$ ,其前 n 项和为 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } } ,$ 则 $\mathsf { S } _ { 2 0 1 2 }$ 等于

已知 $f(x)=x^3-6x^2+9x-abc$，$a<b<c$，且 $f(a)=f(b)=f(c)=0$。现给出如下结论：
① $f(0)f(1)>0$；② $f(0)f(1)<0$；③ $f(0)f(3)>0$；④ $f(0)f(3)<0$。
其中正确结论的序号是

在 $\triangle A B C$ 中，已知 $\angle B A C = 6 0 ^ { \circ }$ $\angle A B C = 4 5 ^ { \circ }$ $B C { = } \sqrt { 3 }$ ，则 AC=

已知关于x的不等式 $\times ^ { 2 } - a x + 2 a > 0$ 在R上恒成立，则实数a的取值范围是

（本小题满分12分）

在等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 和等比数列 $\{ \mathsf { b } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 1 } = \mathtt { b } _ { 1 } = 1$ $b _ { 4 } = 8 , \quad \{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前 10项和 $\mathsf { S } _ { 1 0 } \mathsf { = } 5 5$

（Ⅰ）求 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } }$ 和 ${ \sf b } _ { \sf n }$

（Ⅱ）现分别从 $\left\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \right\}$ 和 $| \{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率

(本题满分 12 分)

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>单价x(元)</td><td rowspan=1 colspan=1>8</td><td rowspan=1 colspan=1>8.2</td><td rowspan=1 colspan=1>8.4</td><td rowspan=1 colspan=1>8.6</td><td rowspan=1 colspan=1>8.8</td><td rowspan=1 colspan=1>9</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>销量y(件)</td><td rowspan=1 colspan=1>90</td><td rowspan=1 colspan=1>84</td><td rowspan=1 colspan=1>83</td><td rowspan=1 colspan=1>80</td><td rowspan=1 colspan=1>75</td><td rowspan=1 colspan=1>68</td></tr></table>

（1）求回归直线方程 $\scriptstyle { \hat { y } } = \mathbf { b } \mathbf { x } + \mathbf { a }$ ，其中 ${ \mathsf b } = - 2 0 , \mathsf { a } = \widehat { y } - { \mathsf b } \overline { { x } }$

（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

（本小题满分12分）

如图，在长方体 $\mathsf { A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中， $\mathsf { A B } { = } \mathsf { A D } { = } 1 , \mathsf { A A } _ { 1 } { = } 2$ ，M为棱 $\mathsf { D D } _ { 1 }$ 上的一点。

Ⅰ求三棱锥 ${ \mathsf { A } } – { \mathsf { M C C } } _ { 1 }$ 的体积；

Ⅱ当 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { M } + \mathsf { M C }$ 取得最小值时，求证： $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { M } \perp$ 平面 MAC

（本小题满分12分）

如图，等边三角形OAB的边长为 $8 \sqrt { 3 }$ ，且其三个顶点均在抛物线E： $\mathsf { x } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { y } ( \mathsf { p } { > } 0 )$ 上。

（1） 求抛物线E的方程；

② 设动直线 $l$与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点 $\mathsf { Q } _ { \circ }$ 证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点

（本小题满分14分）

已知函数 $f ( x ) = a x \sin x - { \frac { 3 } { 2 } } ( a \in R )$ ，且在 $\left[ 0 , { \frac { \pi } { 2 } } \right]$ 上的最大值为 $\frac { \pi - 3 } { 2 }$

(1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明