2013 地方卷 数学

（5分）（2013•广东）若复数z满足 $\mathrm { i } z { = } 2 { + } 4 \mathrm { i }$ ，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　）A （2，4） B （2，﹣4） C （4，﹣2） D （4，2）

（5分）（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为

<table><tr><td>X</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>P</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td> $\frac { 3 } { 5 }$ </td><td> $\frac { 3 } { 1 0 }$ </td><td> $\frac { 1 } { 1 0 }$ </td></tr></table>

则X的数学期望E（X）=（ ）A $\frac { 3 } { 2 }$ B 2 C $\frac { 5 } { 2 }$ D 3

（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　）

正视图

侧视图

俯视图

A 4 B $\textstyle { \frac { 1 4 } { 3 } }$ C $\frac { 1 6 } { 3 }$ D 6

（5分）（2013•广东）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 $\frac { 3 } { 2 } ,$ ，则C的方程是（
）
A $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \sqrt { 5 } } = 1$ B $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 } = 1$ C $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 5 } = 1$ D $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { { \bf y } ^ { 2 } } { \sqrt { 5 } } = 1$

（5分）（2013•广东）设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合 $\cdot \mathrm { S } = \{ \ \mathrm { ~ ( } \mathrm { ~ x ~ } , \ \mathrm { ~ y ~ } , \ \mathrm { ~ z ~ } ) \ | \mathrm { ~ x ~ } , \ \mathrm { ~ y ~ } , \ \mathrm { ~ z \in { \cal X } ~ }$ ，且三条件x
$< \mathrm { y } < \mathrm { z } , \mathrm { y } < \mathrm { z } < \mathrm { x } , \mathrm { z } < \mathrm { x } < \mathrm { y }$ 恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（
）A （y，z，w）∈SB （y，z，w）∈SC （y，z，w）∉ D （y，z，w）∉． ，（x，y，w）． ，（x，y，w）． S，（x，y，w ． S，（x，y，w∉S ∈S ）∈S ）∉S

（5分）（2013•广东）不等式 $\mathbf { \Delta } _ { | \mathbf { X } } { } ^ { 2 } + \mathbf { \Delta } _ { \mathbf { X } } - 2 < 0$ 的解集为

（5分）（2013•广东）若曲线$y=kx+lnx$在点（1，k）处的切线平行于x轴，则$k=$

（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为

（5分）（2013•广东）在等差数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 中，已知 $\mathrm { | } \mathbf { a } _ { 3 } \mathrm { + } \mathbf { a } _ { 8 } \mathrm { = } 1 0$ ，则 $3 \mathbf { a } _ { 5 } + \mathbf { a } _ { 7 } =$

（5分）（2013•广东）给定区域D： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + 4 \mathbf { y } \geqslant 4 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant 4 } \\ { \mathbf { x } \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ．令点集T= $\{ \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { \Gamma } \mathbf { y } _ { 0 } ) \mathbf { \Gamma } \in \mathbf { D } | \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { \Gamma } \mathbf { y } _ { 0 } { \in } Z , \mathbf { \Gamma } ( \mathbf { x } _ { 0 } , \mathbf { \Gamma } \mathbf { y } _ { 0 } )$ 是 $\scriptstyle { \mathbf { Z } } = \mathbf { X } + \mathbf { y } .$ 在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定 条不同的直线

（2013•广东）（几何证明选讲选做题）

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使$BC=CD$，过C作圆O的切线交AD于E．若$AB=6$，$ED=2$，则$BC=$

（12分）（2013•广东）已知函数 $( \mathbf { x } ) = \sqrt { 2 } \mathsf { c o s } ( \mathbf { x } - \frac { \pi } { 1 2 } )$ ，x∈R

（1）求 $\bar { \mathrm { ~ f ~ } } ( - \frac { \pi } { 6 } )$ 的值；

（2）若 $\cos \theta = \frac { 3 } { 5 } , \theta \in ( \frac { 3 \pi } { 2 } , 2 \pi )$ ，求 $( 2 \theta + \frac { \pi } { 3 } )$

（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数

（1）根据茎叶图计算样本均值；

（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率

<table><tr><td>1</td><td>7</td><td>9 5</td></tr><tr><td>2 3</td><td>0 1 0</td></tr><tr><td></td><td></td></tr></table>

（14分） $( 2 0 1 3 \bullet ) ^ { 2 }$ 东）设数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathrm { S } _ { \mathrm { n } }$ ，已知 $\mathrm { a } _ { 1 } { = } 1$ $\frac { 2 S _ { \mathrm { n } } } { \mathrm { n } } = a _ { \mathrm { n } + 1 } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { n } ^ { 2 } - \mathrm { n } - \frac { 2 } { 3 } , ~ \mathrm { n } \in \mathrm { N } ^ { * }$

（1）求 ${ \bf a } _ { 2 }$ 的值；

（2）求数列 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 的通项公式；

（3）证明：对一切正整数n，有 $\frac { 1 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 } { a _ { 2 } } + \cdots + \frac { 1 } { a _ { n } } < \frac { 7 } { 4 } .$

（14分） $( 2 0 1 3 \bullet ) ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ \dotsc ~ } }$ 东）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F $( 0 , \mathrm { ~ \small ~ c ~ } ) \mathrm { ~ \small ~ \left( ~ c > 0 ~ \right) ~ }$ 到直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ 的距离为${ \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } } ,$ ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P $( \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 0 } , \mathbf { \boldsymbol { y } } _ { 0 } )$ 为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求 $| \mathrm { A F } | \bullet | \mathrm { B F } |$ 的最小值

（14分）（2013•广东）设函数f（x）=（x - 1）eˣ - kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈（$\dfrac{1}{2}$，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．