2013 地方卷 数学

设全集为 R, 函数 $f ( x ) = { \sqrt { 1 - x } }$ 的定义域为M, 则 $C _ { \mathbf { R } } M$ 为(A) $( - \infty , 1 )$ (B) $( 1 , ~ + ~ \infty )$ (C) $( - \infty , 1 ]$ (D) $[ 1 , + \infty )$

已知向量 $\vec { a } = ( 1 , m ) , \vec { b } = ( m , 2 )$ , 若 $\mathrm { { a / / b } }$ , 则实数 m 等于(A) $- \sqrt { 2 }$ (B) $\sqrt { 2 }$ (C) $- \sqrt { 2 }$ 或 $\sqrt { 2 }$ (D) 0

设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是(A) $\log _ { a } b { \cdot } \log _ { c } b = \log _ { c } a$ (B) $\log _ { a } b \cdot \log _ { \mathrm { c } } a = \log _ { a } b$ (C) $\log _ { a } ( b c ) = \log _ { a } b \bullet \log _ { a } c$ (D) $\log _ { a } ( b + c ) = \log _ { a } b + \log _ { a } c$

根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61

输入x
If x≤50 Then$ y { = } 0 . 5 ~ { ^ { * } x }$
Else$y { = } 2 5 { + } 0 . 6 ^ { * } ( x { - } 5 0 )$
End If
输出 y

对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为(A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45

设z是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若 $z ^ { 2 } \geq 0$ , 则z是实数 (B) 若 $z ^ { 2 } < 0$ , 则 z 是虚数(C) 若 z 是虚数, 则 $z ^ { 2 } \geq 0$ (D) 若 z 是纯虚数, 则 $z ^ { 2 } < 0$

已知点 M(a,b)在圆 $O : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 外, 则直线 $\mathrm { a x \ + \ b y \ = \ 1 }$ 与圆O的位置关系是(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定

设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 $b \cos C + c \cos B = a \sin A$ , 则△ABC 的形状为(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有(A) $\begin{array} { r l r } { [ - { \bf x } ] } & { { } = } & { - \left[ { \bf x } \right] } \end{array}$ (B) $[ \mathrm { x } + \frac { 1 } { 2 } ] = [ \mathrm { x } ]$ (C) $\begin{array} { r l r } { [ 2 \mathrm { x } ] } & { { } = } & { 2 \left[ \mathrm { x } \right] } \end{array}$ (D) $[ x ] + [ x + \frac { 1 } { 2 } ] = [ 2 x ]$

双曲线 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ 的离心率为________.

观察下列等式:

(1 1) 2 1+ = ´

( $2 + 1 ) ( 2 + 2 ) = 2 ^ { 2 } \times 1 \times 3$

$$ ( 3 + 1 ) ( 3 + 2 ) ( 3 + 3 ) = 2 ^ { 3 } \times 1 \times 3 \times 5 $$

照此规律, 第n个等式可为

(本小题满分 12 分)

如图, 四棱柱 $\mathrm { A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D }$ 的底面ABCD是正方形, O为底面中心, $\mathrm { A _ { 1 } O \perp }$ 平面 ABCD,

$$ A B = A A _ { 1 } = \sqrt { 2 } $$

(Ⅰ) 证明: $\mathrm { A _ { 1 } B D ~ / / }$ 平面 $\mathrm { C D } _ { 1 } \mathrm { B } _ { 1 }$

(Ⅱ) 求三棱柱 $\mathrm { A B D - A _ { 1 } B _ { 1 } D _ { 1 } }$ 的体积.

(本小题满分 12 分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>组别</td><td rowspan=1 colspan=1>A</td><td rowspan=1 colspan=1>B</td><td rowspan=1 colspan=1>C</td><td rowspan=1 colspan=1>D</td><td rowspan=1 colspan=1>E</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>人数</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>100</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td></tr></table>

(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>组别</td><td rowspan=1 colspan=1>A</td><td rowspan=1 colspan=1>B</td><td rowspan=1 colspan=1>C</td><td rowspan=1 colspan=1>D</td><td rowspan=1 colspan=1>E</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>人数</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>100</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>150</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>抽取人数</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>6</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

(本小题满分 13 分)

已知动点 M(x,y)到直线 l:$x = 4$ 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.