2013 新课标 II 卷 数学

（5分）已知集合 $M = \{ x \vert ( x - 1 ) 2 < 4 , x \in \mathsf { R } \}$ $N = \{ \mathit { \Theta } - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \}$ ，则M∩N=（　　）

（5分）设复数$z$满足$(1-i)z=2i$，则$z=$（　　）

（5分）等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ，已知 $\mathrm { | S _ { 3 } = a _ { 2 } + 1 0 a _ { 1 } , ~ } \mathsf { a } _ { 5 } = 9$ ，则 $\mathtt { a } _ { 1 } =$ （）A $\frac 1 3$ B $\frac { 1 } { 3 }$ C $\frac { 1 } { 9 }$ D $\frac { 1 } { 9 }$

（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n ，l⊄α，l⊄β，则（　　）

（5分）已知（1+ax）（1+x）⁵的展开式中x²的系数为5，则$a=$（　　）

（5分）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（　　）

A $1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { 1 0 }$

C $1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \cdots + \frac { 1 } { 1 1 }$

B $1 + \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 1 } { 3 ! } + \cdots + \frac { 1 } { 1 0 ! }$

D $1 + { \frac { 1 } { 2 ! } } + { \frac { 1 } { 3 ! } } + \cdots + { \frac { 1 } { 1 1 ! } }$

（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 ${ \boldsymbol { z } } { \boldsymbol { \mathrm { O x } } } { \mathrm { \cdot } }$ 平面为投影面，则得到正视图可以为（　　）

A

B

C

D

（5分）设 $\mathsf { a } { = } | \mathsf { o g } _ { 3 } 6$ $\scriptstyle \mathtt { b } = \mathtt { l o g } _ { 5 } 1 0$ $\mathsf { c } { = } | \mathsf { o g } _ { 7 } 1 4$ ，则（ ）A $\mathtt { c } > \mathsf { b } > \mathsf { a }$ B $b > c > a$ C $a > c > b$ D $a > b > c$

（5分）已知a＞0，实数x，y满足： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } \geqslant 1 } \\ { \mathbf { x } + \mathbf { y } \leqslant _ { \ast } 3 } \\ { \mathbf { y } \geqslant \mathbf { a } \left( \mathbf { x } - 3 \right) } \end{array} \right.$ ，若 $z = 2 x + y$ 的最小值为1， 则a=（　　） A．2 B．1 C $\frac 1 2$ D $\frac { 1 } { 4 }$

（5分）设抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x } \ \left( \mathsf { p } { > } 0 \right)$ 的焦点为F，点M在C上， $\vert M F \vert = 5$ ，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）A $y ^ { 2 } = 4 x$ 或 $y ^ { 2 } = 8 x$ B． $y ^ { 2 } = 2 x$ 或 $y ^ { 2 } = 8 x$ C $y ^ { 2 } = 4 x$ 或 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$ D． $y ^ { 2 } = 2 x$ 或 $\mathsf { y } ^ { 2 } = 1 6 \mathsf { x }$

（5分）已知正方形$ABCD$的边长为2，$E$为$CD$的中点，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BD}=$____．

（5分）从$n$个正整数$1$，$2$，...，$n$中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于$5$的概率为$\dfrac{1}{14}$，则$n=$____．

（5分）设θ为第二象限角，若 $\tan ( \theta + \frac { \pi } { 4 } ) = \frac { 1 } { 2 }$ ，则 $\sin \theta + \cos \theta = - \frac { \sqrt { 1 0 } } { 5 }$

（5分）等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ，已知 $\mathsf { S } _ { 1 0 } { = } 0 , ~ \mathsf { S } _ { 1 5 } { = } 2 5$ ，则 ${ \mathsf { n S } } _ { \mathsf { n } }$ 的最小值 为　﹣49

（12分） $\triangle \mathsf { A B C }$ 在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值

（12分）如图，直棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，D，E分别是AB， $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 的中点， $\mathsf { A A } _ { 1 } =$ $A C = C B = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } A B$

（Ⅰ）证明： $\mathsf { B C } _ { 1 } \parallel$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C D }$

（Ⅱ）求二面角 $\mathsf { D } ^ { \mathrm { ~ - ~ } } \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { C } ^ { \mathrm { ~ - ~ } }$ E的正弦值

（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润

（Ⅰ）将T表示为x的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取$x=105$，且$x=105$的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望

（12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt { 3 } = 0$ 交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $\frac { 1 } { 2 }$ •

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值

（10分）【选修4﹣1几何证明选讲】

如图，CD为 $\triangle A B C$ 外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且 $\mathsf { B C } \bullet \mathsf { A E } = \mathsf { D C } \bullet \mathsf { A F }$ ，B、E、F、C四点共圆

（1）证明：CA是 $\Delta A B C$ 外接圆的直径；

（2）若 $D B = B E = E A$ ，求过B、E、F、C四点的圆的面积与 $\triangle A B C$ 外接圆面积的比值