2013 地方卷 · 理 数学

设集合 $\mathrm{M}=\{1,2, z i\}, \mathrm{i}$ 为虚数单位， $\mathrm{N}=\{3,4\}, \mathrm{M} \cap \mathrm{N}=\{4\}$，则复数 $\mathrm{z}=$

函数 $y=\sqrt{x} \ln (1-x)$ 的定义域为

等比数列 $\mathrm{x}, ~ 3 \mathrm{x}+3, ~ 6 \mathrm{x}+6, ~ \cdots$ 的的第四项等于

总体由编号为 $01,02, \cdots, 19,20$ 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为

$\left(x^{2}-\frac{1}{x^{3}}\right)^{5}$ 展开式中的常数项为

$S_{1}=\int_{1}^{2} x^{2} d x, S_{2}=\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x, S_{3}=\int_{1}^{2} e^{x} d x$，若，则 $\mathrm{s}_{1}, \mathrm{~s}_{2}, \mathrm{~s}_{3}$ 的大小关系为

阅读如下程序框图，如果输出 $i=5$，那么在空白矩形框中应填入的语句为

如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 $\alpha$ 上，且 $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$，正方体的六个面所在的平面与直线 $\mathrm{CE}, \mathrm{EF}$ 相交的平面个数分别记为 $\mathrm{m}, ~ \mathrm{n}$，那么 $\mathrm{m}+\mathrm{n}=~$

过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 引直线 ᄂ与曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 交于 $A, B$ 两点， 0 为坐标原点，当 $\triangle A O B$的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于
A．$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B．$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C．$\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
D $-\sqrt{3}$

如图，半径为 1 的半圆 0 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 $\imath_{1}, \imath_{2}$ 之间， $1 / / \imath_{1}, 1$与半圆相交于 $\mathrm{F}, \mathrm{G}$ 两点，与三角形 ABC 两边相交于 $\mathrm{E}, \mathrm{D}$ 两点。
设弧 $F G$ 的长为 $x(0<x<\pi), y=E B+B C+C D$，若 1 从 $1_{1}$ 平行移动到 $1_{2}$，则函数 $y=f(x)$ 的图像

大致是

函数 $\mathrm{y}=\sin 2 \mathrm{x}+2 \sqrt{3} \sin ^{2} \mathrm{x}$ 的最小正周期 $T$ 为 $\_\_\_\_$。

设 $e_{1}, e_{2}$ 为单位向量。且 $e_{1}, e_{2}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$，若 $a=e_{1}+3 e_{2}, b=2 e_{1}$，则向量 $a$ 在 $b$方向上的射影为 $\_\_\_\_$．

设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，且 $\mathrm{f}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$。

抛物线 $\mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{py} ~(\mathrm{p}>0) ~$ 的焦点为 F，其准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 相交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle \mathrm{ABF}$ 为等边三角形，则 $\mathrm{p}=$ $\_\_\_\_$．

16．（本小题满分 12 分）
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$，已知
$\cos C+(\cos A-\sqrt{3} \sin A) \cos B=0$.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 $a+c=1$，求 $b$ 的取值范围．

17．（本小题满分 12 分）
正项数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 满足：$S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-1\right) S_{n}-\left(n^{2}+n\right)=0$
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$；
（2）令 $b_{n}=\frac{n+1}{(n+2)^{2} a_{n}^{2}}$，数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$．证明：对于任意 $\mathrm{n} \in \mathrm{N} *$，都有 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}< \frac{5}{64}$.

20．（本小题满分 13 分）
如图，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 经过点 $\mathrm{P}\left(1 . \frac{3}{2}\right)$，离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $\mathrm{x}=4$．

（1）求椭圆 C 的方程；
② AB 是经过右焦点 F 的任一弦（不经过点 P ），设直线 AB 与直线 1 相交于点 M，记 PA， $\mathrm{PB}, \mathrm{PM}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$。问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_{1}+k_{2}=\lambda k_{3}$ ？若存在，

求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．