2013 地方卷 · 文 数学

不等式 $\frac{x}{2 x-1}<0$ 的解为 $\_\_\_\_$。

在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1+a_2+a_3+a_4=30$，则 $a_2+a_3=$____．

已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ．若 $a^{2}+a b+b^{2}-c^{2}=0$ ，则角 $C$ 的大小是 $\_\_\_\_$。

某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 $40 \%$ ．在一次考试中，男、女生平均分数分别为 $75 , 80$ ，则这次考试该年级学生平均分数为 $\_\_\_\_$。

设常数 $a \in \mathbf{R}$ ．若 $\left(x^{2}+\frac{a}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中 $x^{7}$ 项的系数为 -10 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

方程 $\frac{9}{3^{x}-1}+1=3^{x}$ 的实数解为 $\_\_\_\_$。

若 $\cos x \cos y+\sin x \sin y=\frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 x-2 y)=$ $\_\_\_\_$ .

盒子中装有编号为 $1,2,3,4,5,6,7$ 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 $\_\_\_\_$
（结果用最简分数表示）。

设常数 $a>0$ ，若 $9 x+\frac{a^{2}}{x} \geq a+1$ 对一切正实数 $x$ 成立，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ．记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow{a_{1}}$ 、

$\overrightarrow{a_{2}} , \overrightarrow{a_{3}}$ ；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\overrightarrow{c_{1}} , \overrightarrow{c_{2}} , \overrightarrow{c_{3}}$ ．若 $i, j, k, l \in\{1,2,3\}$且 $i \neq j, k \neq l$ ，则 $\left(\overrightarrow{a_{i}}+\overrightarrow{a_{j}}\right) \cdot\left(\overrightarrow{c_{k}}+\overrightarrow{c_{l}}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

函数 $f(x)=x^{2}-1(x \geq 1)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，则 $f^{-1}(2)$ 的值是（ ）

设常数 $a \in \mathbf{R}$ ，集合 $A=\{x \mid(x-1)(x-a) \geq 0\}, B=\{x \mid x \geq a-1\}$ ．若 $A \cup B=\mathbf{R}$ ，则 $a$ 的取值范围为（ ）

钱大姐常说＂好货不便宜＂，她这句话的意思是：＂好货＂是＂不便宜＂的（）

记椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{ny^{2}}{4n+1}=1$ 围成的区域（含边界）为 $\Omega_{n}(n=1,2,\cdots)$，当点 $(x,y)$ 分别在 $\Omega_{1}, \Omega_{2}, \cdots$ 上时，$x+y$ 的最大值分别是 $M_{1}, M_{2}, \cdots$，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} M_{n}=$（ ）

（本题满分 12 分）
如图，正三棱锥 $O-A B C$ 底面边长为 2 ，高为 1 ，求该三棱锥的体积及表面积．

（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题．第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．

已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x)$ ，其中常数 $\omega>0$ ．
（1）令 $\omega=1$ ，判断函数 $F(x)=f(x)+f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由；
（2）令 $\omega=2$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再往上平移 1 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图像．对任意的 $a \in R$ ，求 $y=g(x)$ 在区间 $[a, a+10 \pi]$ 上零点个数的所有可能值。