2013 地方卷 · 文 数学

设 $i$ 是虚数单位，若复数 $a-\frac{10}{3-i}(a \in R)$ 是纯虚数，则 $a$ 的值为

已知 $A=\{x \mid x+1>0\}, B=\{-2,-1,0,1\}$，则 $\left(C_{R} A\right) \cap B=$

如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

＂$(2 x-1) x=0$＂是＂$x=0$＂的

若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被

录用的概率为

直线 $x+2 y-5+\sqrt{5}=0$ 被圆 $x^{2}+y^{2}-2 x-4 y=0$ 截得的弦长为

设 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$S_{8}=4 a_{3}, a_{7}=-2$，则 $a_{9}=$

设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$，若 $b+c=2 a, 3 \sin A=5 \sin B$，则角 $C=$

．已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$，若 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}<x_{2}$，则关于 $x$ 的方程
$3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数为

函数 $y=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)+\sqrt{1-x^{2}}$ 的定义域为 $\_\_\_\_$．

若非负数变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geq-1 \\ x+2 y \leq 4\end{array}\right.$，则 $x+y$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=3|\vec{b}|=|\vec{a}+2 \vec{b}|$，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$．

定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=2 f(x)$。若当 $0 \leq x \leq 1$ 时。 $f(x)=x(1-x)$，则当 $-1 \leq x \leq 0$ 时，$f(x)=$

如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1, P$ 为 $B C$ 的中点，$Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A, P, Q$ 的平面截该正方体所得的截面记为 $S$，则下列命题正确的是 $\_\_\_\_$ （ 写出所有正确命题的编号）。

①当 $0<C Q<\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为四边形
②当 $C Q=\frac{1}{2}$ 时，$S$ 为等腰梯形

（3）当 $C Q=\frac{3}{4}$ 时，$S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R=\frac{1}{3}$
（4）当 $\frac{3}{4}<C Q<1$ 时，$S$ 为六边形
（5）当 $C Q=1$ 时，$S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

（17）（本小题满分 12 分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（I）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（II）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $\overline{x_{1}}, \overline{x_{2}}$，估计 $\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}$ 的值。

（本小题满分 13 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2, a_{2}+a_{4}=8$，且对任意 $n \in N^{*}$，函数

$f(x)=\left(a_{n}-a_{n+1}+a_{n+2}\right) x+a_{n+1} \cdot \cos x-a_{n+2} \cdot \sin x \quad$ 满足 $f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b_{n}=2\left(a_{n}+\frac{1}{2^{a_{n}}}\right)$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

（本小题满分 13 分）

设函数 $f(x)=a x-\left(1+a^{2}\right) x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x \mid f(x)>0\}$．
（I）求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha, \beta)$ 的长度定义为 $\beta-\alpha$；
（II）给定常数 $k \in(0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．