2013 大纲卷 · 文 数学

（5分）已知向量 $\vec{\Pi}=(\lambda+1,1), \vec{n}=(\lambda+2,2)$ ，若 $(\vec{\Pi}+\vec{n}) \perp(\vec{\Pi}-\vec{n})$ ，则 $\lambda=$（ ）

（5分）不等式 $\left|x^{2}-2\right|<2$ 的解集是（ ）

（5分）$(x+2)^{8}$ 的展开式中 $x^{6}$ 的系数是（ ）

（5分）函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)(x>0)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=(\quad)$

（5分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于

（5分）已知 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0)$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于 $x$轴的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $|A B|=3$ ，则 $C$ 的方程为（ ）

（5分）若函数 $y=\sin (\omega x+\phi)(\omega>0)$ 的部分图象如图，则 $\omega=(\quad)$

（5分）已知曲线 $y=x^{4}+a x^{2}+1$ 在点（ $-1, a+2$ ）处切线的斜率为 $8, a=$（

（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，则 $C D$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值等于（ ）

（5分）已知抛物线 $C$ ：$y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M(-2,2)$ ，过点 $F$ 且斜率为 $k$的直线与 $C$ 交于 $A$ ，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$ ，则 $k=$

（5分）设 $f(x)$ 是以 2 为周期的函数，且当 $x \in[1,3)$ 时，$f(x)=x-2$ ，则 $f(-1)=$ $\_\_\_\_$ －1 ．

（5分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖， 2 名二等奖， 3 名三等奖，则可能的决赛结果共有 $\_\_\_\_$ 60种．（用数字作答）

（5分）若 $x , y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$ 则 $z=-x+y$ 的最小值为 0 。

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠$ABC=$∠$BAD=90$°，$BC=2AD$，△PAB与△
PAD都是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．

（10分）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{7}=4, a_{19}=2 a_{9}$ ，
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ．

（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ．
（I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．