2014 地方卷 · 理 数学

$i$ 为虚数单位，则 $\left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{2}=$

若二项式 $\left(2 x+\frac{a}{x}\right)^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是 84，则实数 $a=$

设 $U$ 为全集，$A, B$ 是集合，则＂存在集合 $C$ 使得 $A \subseteq C, B \subseteq C_{U} C$ 是＂$A \cap B=\varnothing$＂的

根据如下样本数据

得到的回归方程为 $\hat{y}=b x+a$ ，则
A．$a>0, b>0$
B．$a>0, b<0$
C．$a<0, b>0$
－D．$a<0, b<0$

在如图所示的空间直角坐标系 $O-x y z$ 中，一个四面体的顶点坐标分别是 $(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1)$ ， （ $2,2,2$ ），给出编号（1）、（2）、（3）、（4）的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

图（1）

图（2）

图（3）

图（4）

若函数 $f(x), g(x)$ 满足 $\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x=0$，则称 $f(x), g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数，给出三组函数：①$f(x)=\sin \frac{1}{2} x, g(x)=\cos \frac{1}{2} x$；②$f(x)=x+1, g(x)=x-1$；③$f(x)=x, g(x)=x^{2}$．其中为区间 $[-1,1]$ 的正交函数的组数是

由不等式 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ y-x-2 \leq 0\end{array}\right.$ 确定的平面区域记为 $\Omega_{1}$ ，不等式 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 1 \\ x+y \geq-2\end{array}\right.$ ，确定的平面区域记为 $\Omega_{2}$ ，在 $\Omega_{1}$中随机取一点，则该点恰好在 $\Omega_{2}$ 内的概率为（）

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求＂盖＂的术：置如其周，令相承也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长 $L$ 与高 $h$ ，计算其体积 $V$ 的近似公式 $v \approx \frac{1}{36} L^{2} h$ ．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 $\pi$ 近似取为 3．那么近似公式 $v \approx \frac{2}{75} L^{2} h$ 相当于将圆锥体积公式中的 $\pi$ 近似取为（ ）

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$ 是他们的一个公共点，且 $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$ ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

已知函数 $f(x)$ 是定义在 R 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}\left(\left|x-a^{2}\right|+\left|x-2 a^{2}\right|-3 a^{2}\right)$ ，若 $\forall x \in \mathrm{R}, ~ f(x-1) \leq f(x)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

设向量 $\mathbf{a}=(3,3), \quad \mathbf{b}=(1,-1)$，若 $(\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}) \perp(\mathbf{a}-\lambda \mathbf{b})$，则实数 $\lambda=$ $\_\_\_\_$．

直线 $l_{1}: y=x+a$ 和 $l_{2}: y=x+b$ 将单位圆 $C: x^{2}+y^{2}=1$ 分成长度相等的四段弧，则
$a^{2}+b^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

设 $a$ 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数．将组成 $a$ 的 3 个数字按从小到大排成的三位数．记为 $I(a)$ ，按从大到小排成的三位数记为 $D(a)$（例如 $a=815$ ，则 $I(a)=158, D(a)=851$ ）。阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 $a$ ，输出的结果 $b=$

设 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，且 $f(x)>0$ ，对任意 $a>0, b>0$ ，若经过点 $(a, f(a)),(b,-f(b))$的直线与 $x$ 轴的交点为 $(c, 0)$ ，则称 $c$ 为 $a, b$ 关于函数 $f(x)$ 的平均数，记为 $M_{f}(a, b)$ ，例如，当 $f(x)=1(x>0)$ 时，可得 $M_{f}(a, b)=c=\frac{a+b}{2}$ ，即 $M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的算术平均数．
①当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的几何平均数；
②当 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x>0)$ 时，$M_{f}(a, b)$ 为 $a, b$ 的调和平均数 $\frac{2 a b}{a+b}$ ；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

（选修 4－1：几何证明选讲）
如图，$P$ 为 $\odot O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，过 $P A$ 的中点 $Q$ 作割线交 $\odot O$ 于 $C, D$ 两点，若 $Q C=1, C D=3$ ，则 $P B=$ $\_\_\_\_$ ．

（选修 4－4：坐标系与参数方程）

已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t} \\ y=\frac{\sqrt{3 t}}{3}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程是 $\rho=2$，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标为 $\_\_\_\_$．

（本小题满分 11 分）
某实验室一天的温度（单位：${ }^{\circ} C$ ）随时间 $t$（单位：$h$ ）的变化近似满足函数关系；
$f(t)=10-\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12} t-\sin \frac{\pi}{12} t, t \in[0,24)$ ．
（1）求实验室这一天的最大温差；
（2）若要求实验室温度不高于 $11^{\circ} \mathrm{C}$ ，则在哪段时间实验室需要降温？

（本小题满分 12 分）

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F, M, N$ 分别是棱 $A B, A D, A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, B B_{1}$ 上移动，且 $D P=B Q=\lambda(0<\lambda<2)$．
（1）当 $\lambda=1$ 时，证明：直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$；
（2）是否存在 $\lambda$，使平面 $E F P Q$ 与面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由．

（本小题满分 12 分）

计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 $X$（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 $X$ 限制，并有如下关系：

若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 1 ，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹为 $C$ 的方程；
②设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围．