2015 北京卷 · 理 数学

（5 分）复数 $i(2-i)=(\quad)$

（5 分）若 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x-y \leqslant 0 \\ x+y \leqslant 1 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x+2 y$ 的最大值为（ ）

（5 分）执行如图所示的程序框图输出的结果为

（5 分）设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，$m$ 是直线且 $m \subset \alpha, ~ " m / / \beta$＂是＂$\alpha / / \beta$＂的

（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是

（5 分）如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $A C B$ ，则不等式 $f(x) \geqslant \log _{2}(x+1)$

的解集是

（5分）汽车的＂燃油效率＂是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是

（5 分）在 $(2+x)^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 40 （用数字作答）

（5 分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+y=0$ ，则 $a= \frac{\sqrt{3}}{3}-$ ．

（5 分）在极坐标系中，点 $\left(2, \frac{\pi}{3}\right)$ 到直线 $\rho(\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta)=6$ 的距离为 1 ．

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，$a=4, b=5, c=6$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{\sin C}=$ $\_\_\_\_$ 1 ．

（5 分）在 $\triangle A B C$ 中，点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MC}}, \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\overrightarrow{\mathrm{NC}}$ ，若 $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ ，则 $x= \frac{1}{2}-, y=-\frac{1}{6}-$.

设函数$f(x)=\begin{cases}2^x-a,&x<1,\\4(x-a)(x-2a),&x\geqslant1\end{cases}$
①若$a=1$，则$f(x)$的最小值为______；
②若$f(x)$恰有2个零点，则实数$a$的取值范围是______．

（13 分）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

A 组：10，11，12，13，14，15， 16
B 组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙。
（I）求甲的康复时间不少于 14 天的概率；
（II）如果 $a=25$ ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（III）当 a 为何值时， $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

（14分）如图，在四棱锥 A－EFCB 中，$\triangle A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F \perp$ 平面 $E F C B, E F / / B C, B C=4, E F=2 a, \angle E B C=\angle F C B=60^{\circ}$ ，$O$ 为 $E F$ 的中点。
（I）求证：$A O \perp B E$ ．
（II）求二面角 $F-A E-B$ 的余弦值；
（III）若 $B E \perp$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．