2015 地方卷 数学

执行如图所示的程序框图，如果输 $\lambda n = 3$，则输出的 S =

若变量 ， 满足约束条件x y $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y \geq - 1 } \\ { 2 x - y \leq 1 } \\ { \quad y \leq 1 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值为（ ）

已知 $\left( { \sqrt { x } } - { \frac { a } { \sqrt { x } } } \right) ^ { 5 }$ 的展开式中含 $x ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ 的项的系数为30，则 a =

A. $\sqrt { 3 }$ B. $- { \sqrt { 3 } }$ C.6 D-6

在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的
点的个数的估计值为（ ）

已知点，， 在圆A B C $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 上运动，且 $A B \perp B C$，若点 的坐标为，则 P (2,0) $\left| { \overrightarrow { P A } } + { \overrightarrow { P B } } + { \overrightarrow { P C } } \right|$ 的最大值为

将函数 $f ( x ) = \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\varphi ( 0 < \varphi < \frac { \pi } { 2 } )$ 个单位后得到函数 的图像，若对满足g x( )$\left| f ( x _ { 1 } ) - g ( x _ { 2 } ) \right| = 2$ 的 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ ，有 $\left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| _ { \mathrm { m i n } } = \frac { \pi } { 3 }$ ，则 （ ） _j =

某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率= $= \frac { \frac { 3 } { 4 } \times 1 4 - 4 \times 1 4 \times 1 5 } { 1 5 \times 1 4 - 1 4 \times 1 4 \times 1 5 }$ ）

$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( x - 1 ) d x =$

在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 上的运动员人数是1 35  [139,151]

13|00345668889
141 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8
15|0 1 2 2 3 3 3

设 是双曲线F $C : ~ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 的一个焦点，若 上存在点，使线段C P PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则 的离心率为C

设 $S _ { n }$ 为等比数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 项和，若n $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = 1$ ，且 $3 S _ { 1 } , ~ 2 S _ { 2 } , ~ S _ { 3 }$ 成等差数列，则 $a _ { n } =$

已知 $f(x)=\begin{cases}x^3, x\le a\\x^2, x>a\end{cases}$，若存在实数 $b$，使函数 $g(x)=f(x)-b$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是 ________．

设 的内角，， 的对边分别为DABC A B C $a \ : , b \ : , c \ : , a = b \tan A$，且 为钝角. B

（1）证明： $B - A = \frac { \pi } { 2 }$；

（2）求 $\sin A + \sin C$ 的取值范围.

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 ，求 的分布列和数学期望.X X【答案】① $\frac { 7 } { 1 0 }$ ；（2）详见解析.

如图，已知四棱台 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形， $A A _ { 1 } = 6$，且$A A _ { 1 }$ 底面，点， 分别在棱^ ABCD P Q $D D _ { 1 }$，BC 上.

（1）若 P 是 $D D _ { 1 }$ 的中点，证明： $A B _ { 1 } \bot P Q$

（2）若 $P Q / / \mp$ 面 $A B B _ { 1 } A _ { 1 }$，二面角 $P - Q D - A$ 的余弦值为 $\frac { 3 } { 7 }$，求四面体 $A D P Q$ 的体积.