2015 新课标 II 卷 数学

（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}， ${ \sf B } = \{ { \sf x } | ( { \bf x } - 1 ) ( { \bf x } + { \bf 2 } ) < 0 \}$ 则A∩B=（　　）

（5分）若a为实数，且 $( 2 + \mathsf { a i } ) ( \mathsf { a } - 2 \mathsf { i } ) = - \mathsf { 4 i }$ ，则a=（　　）

（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　）

（5分）已知等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $\mathtt { a } _ { 1 } = 3$ $\mathtt { a } _ { 1 } + \mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 5 } = 2 1$ ，则 $\mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 5 } + \mathtt { a } _ { 7 } =$ （　　）

（5分）设函数f $\begin{array} { r } { \mathbf { \Pi } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Pi } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + 1 \circ \mathbf { g } _ { 2 } \left( 2 - \mathbf { x } \right) , \quad \mathbf { x } < 1 } \\ { \quad } \\ { 2 ^ { \mathbf { x } - 1 } , \quad } \end{array} \right. } \end{array}$ ，则f $ \ ( \ - \ 2 ) \ + \mathbf { f } \ \left( \ \log _ { 2 } 1 2 \right) \ = \ ( $ ）

（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　）

A $\frac { 1 } { 8 }$ B $\frac { 1 } { 7 }$ C $\frac { 1 } { 6 }$ D $\frac { 1 } { 5 }$

（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（　　）A $2 \sqrt { 6 }$ B．8 C $4 \sqrt { 6 }$ D．10

（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的$a=$（）

（5分）已知A，B是球O的球面上两点， $\angle A O B = 9 0 ^ { \circ }$ ，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）

（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上， $\triangle A B M$ 为等腰三角 形，顶角为 ${ \sim } 1 2 0 ^ { \circ }$ ，则E的离心率为（　　） A $\sqrt { 5 }$ B．2 C $\sqrt { 3 }$ D． $\sqrt { 2 }$

（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时， $\mathsf { x f } ^ { \prime } \left( \mathsf { x } \right) \mathsf { \Omega } - \mathsf { f } \left( \mathsf { x } \right) \mathsf { \Omega } < 0$ ，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A $( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } _ { 1 } ) \cup \mathbf { \Sigma } ( 0 , \mathbf { \Sigma } _ { 1 } )$ B $\left( ~ - ~ 1 , ~ 0 \right) \cup \left( ~ 1 , ~ + \infty \right)$ C $( \mathbf { \Sigma } - \infty , \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 1 ) \cup \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } 1 , \mathbf { \Sigma } 0 )$ D． $\left( 0 , \ 1 \right) \ \cup \ \left( \ 1 , \ + \infty \right)$

（5分）设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 不平行，向量 $\lambda\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}+2\vec{b}$ 平行，则实数 $\lambda=$ $\underline{\dfrac{1}{2}}$．

（5分）若 $x$，$y$ 满足约束条件 $\begin{cases} x-y+1\geqslant 0 \\ x-2y\leqslant 0 \\ x+2y-2\leqslant 0 \end{cases}$ ，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\underline{\dfrac{3}{2}}$．

（5分） $\begin{array} { r l } { ( { \mathsf { a } } + \mathsf { x } ) } & { { } \left( \mathsf { 1 } + \mathsf { x } \right) } \end{array}$ ⁴的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3

（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即

可）；

（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>满意度评分</td><td rowspan=1 colspan=1>低于70分</td><td rowspan=1 colspan=1>70分到89分</td><td rowspan=1 colspan=1>不低于90分</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>满意度等级</td><td rowspan=1 colspan=1>不满意</td><td rowspan=1 colspan=1>满意</td><td rowspan=1 colspan=1>非常满意</td></tr></table>

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率

<table><tr><td>A地区</td><td></td><td>B地区</td><td></td></tr><tr><td>veoo.com</td><td>456789</td><td></td><td></td></tr></table>

（12分）如图，长方体 $\mathsf { \cdot A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } }$ 中， $\mathsf { A B } = 1 6 , ~ \mathsf { B C } = 1 0 , ~ \mathsf { A A } _ { 1 } = 8$ ，点E，F分别在 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 上， $\mathsf { A } _ { 1 } E { = } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { F } { = } 4$ ，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值

（12分）设函数f $( x ) = e ^ { m x } + x ^ { 2 } - m x$

（1）证明：f（x）在 $\left( \begin{array} { l l } { - \infty , } & { 0 } \end{array} \right)$ 单调递减，在 $( 0 , \ + \infty )$ 单调递增；

（2）若对于任意 $\mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 1 } , \mathbf { \boldsymbol { x } } _ { 2 } \in [ \mathbf { \textbf { - } } 1 , \mathbf { \boldsymbol { 1 } } ]$ ，都有 $| \textbf { f } \left( \mathbf { \widetilde { x } } _ { 1 } \right) \ \textbf { - f } \left( \mathbf { \widetilde { x } } _ { 2 } \right) \ \mathbf { \widetilde { \leq } } \mathbf { e } \mathrm { ~ - ~ } 1$ ，求m的取值范围

（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与 $\triangle A B C$ 的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点

（1）证明：EF∥BC；

（2）若AG等于⊙O的半径，且 $A E = M N = 2 \sqrt { 3 }$ ，求四边形EBCF的面积

在直角坐标系 ${ \tt x o y } \# \tt$ ，曲线 $\mathsf { C } _ { 1 }$ ： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \mathbf { t } \cos \alpha } \\ { \mathbf { y } = \mathbf { t } \sin \alpha } \end{array} \right.$ （t为参数， $\mathsf { t } \neq \mathsf { 0 } )$ ，其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ${ \mathsf C } _ { 2 } \colon \mathsf { \Gamma } \mathsf { \rho } = 2 { \mathsf { s i n } } \Theta , { \mathsf C } _ { 3 } \colon \mathsf { \rho } =$ $2 \sqrt { 3 } \mathrm { c o s } \Theta$

（1）求 $\mathsf { C } _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标；

（2）若 $\mathsf { C } _ { 1 }$ 与 ${ \sf C } _ { 2 }$ 相交于点A， $\mathsf C _ { 1 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 相交于点B，求 $\left| \mathsf { A B } \right|$ 的最大值

设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（2）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是$|a-b|＜|c-d|$的充要条件．