2018 北京卷 数学

（5分）已知集合 $\mathrm { A } { = } \{ \mathrm { x } | | \mathrm { x } | { < } 2 \}$ $\mathrm { B } { = } \{ \mathrm { ~ - ~ } 2 , ~ 0 , ~ 1 , ~ 2 \}$ ，则 A∩B=（　　）

（5分）在复平面内，复数 $\frac { 1 } { 1 - \mathrm { i } }$ 的共轭复数对应的点位于（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　）

A $\frac { 1 } { 2 }$ B $\frac { 5 } { 6 }$ C $\frac { 7 } { 6 }$ D $\frac { 7 } { 1 2 }$

（5 分）设 a，b，c，d是非零实数，则 $\mathrm { \displaystyle { \tilde { \mathbf { \omega } } } _ { a d } } = \mathrm { \mathbf { b } } \mathrm { \mathbf { c } } ^ { \prime \prime }$ 是“a，b，c，d 成等比数列”的（　　）

（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 $^ { 1 2 } \sqrt { 2 }$ ．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　）A $\sqrt [ 3 ] { 2 } ^ { \mathrm { f } }$ B $\sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 2 } } \mathrm { f }$ C $\sqrt [ 1 2 ] { 2 ^ { 5 } } \mathrm { f }$ D $\sqrt [ 1 2 ] { 2 } \mathrm { f f }$

（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

正（主）视图

侧（左）视图

俯视图

（5分）设集合 $\mathrm { A = \{ ~ \chi ( \mathbf { x } , \Delta \mathbf { y } ) ~ | \mathbf { x } - \mathbf { y } { \geq } 1 } , ~ \mathbf { a x } { + } \mathbf { y } { > } 4 , ~ \mathbf { x } - \mathbf { a y } { \leq } 2 \} $ ，则（　　）

（5 分）已知直线 l 过点（1，0）且垂直于 x 轴．若 l 被抛物线 $\scriptstyle \mathbf { y } ^ { 2 } = 4 \mathbf { a x }$ 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　（1，0）

（5分）若双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathsf { 4 } } { = } 1 ( \mathbf { a } { > } 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ ，则 $\mathrm { \Delta a = \_ 4 }$

（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　3

(13 分) 设$\{a_n\}$是等差数列，且 $a_1=\ln2$，$a_2+a_3=5\ln2$．
(I) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(II) 求 $e^{a_1}+e^{a_2}+\dots+e^{a_n}$．

（13分）已知函数 ${ \mathrm { ~ f ~ } } \left( { \mathrm { ~ x ~ } } \right) = \sin ^ { 2 } \mathrm { x } + { \sqrt { 3 } } \mathrm { s i n x c o s x }$

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若 f（x）在区间 $[ - \frac { \pi } { 3 }$ ，m]上的最大值为 $\frac { 3 } { 2 }$ ，求m的最小值

（13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>电影类型</td><td rowspan=1 colspan=1>第一类</td><td rowspan=1 colspan=1>第二类</td><td rowspan=1 colspan=1>第三类</td><td rowspan=1 colspan=1>第四类</td><td rowspan=1 colspan=1>第五类</td><td rowspan=1 colspan=1>第六类</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>电影部数</td><td rowspan=1 colspan=1>140</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>300</td><td rowspan=1 colspan=1>200</td><td rowspan=1 colspan=1>800</td><td rowspan=1 colspan=1>510</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>好评率</td><td rowspan=1 colspan=1>0.4</td><td rowspan=1 colspan=1>0.2</td><td rowspan=1 colspan=1>0.15</td><td rowspan=1 colspan=1>0.25</td><td rowspan=1 colspan=1>0.2</td><td rowspan=1 colspan=1>0.1</td></tr></table>

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值

（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（Ⅱ）随机选取 1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）

（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，$PA=PD$，E，F 分别为 AD，PB 的中点

（Ⅰ）求证：PE⊥BC；

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD

（13分）设函数 $f ( \mathbf { x } ) \ = \ [ \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 2 } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { 3 a } + 1 ) \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } + \mathbf { 3 a } + 2 ] \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } }$

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若 f（x）在x=1 处取得极小值，求a的取值范围