数系的扩充与复数的概念　·　历年高考数学真题与解析

10．已知复数 z 满足 $z^{2}=(\bar{z})^{2},|z| \leq 1$ ，则 $|z-2-3 i|$ 的最小值是 $\_\_\_\_$．

10. 已知复数z满足 $z ^ { 2 } = ( \bar { z } ) ^ { 2 } , | z | \leqslant 1$ ,则 $\left| z - 2 - 3 \mathrm { i } \right|$ 的最小值是

1．设 $z=5+\mathrm{i}$ ，则 $\mathrm{i}(\bar{z}+z)=$

1．已知 $z=-1-\mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

2．在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(-1, \sqrt{3})$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=()$

2．已知 $a, b \in \mathbf{R}, a+3 \mathrm{i}=(b+\mathrm{i}) \mathrm{i}$（ i 为虚数单位），则（ ）

2．若复数 $z$ 满足 $\mathrm{i} \cdot z=3-4 \mathrm{i}$ ，则 $|z|=$

2．已知 $z=1-3 i$ ，则 $|\bar{z}-i|=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{5}$。
【思路分析】由已知求得 $\bar{z}-i$ ，再由复数模的计算公式求解．

1．若 $\mathrm{z}=1+i$ ，则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 z\right|=$

15．设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=2, z_{1}+z_{2}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ，则 $\left|z_{1}-z_{2}\right|=$

2．若 $z=1+2 \mathrm{i}+\mathrm{i}^{3}$ ，则 $|z|=$

2．已知 $a \in \mathrm{R}$ ，若 $a-1+(a-2) i$（ $i$ 为虚数单位）是实数，则 $a=$

1．设 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$ ，则 $|z|=$

1．（5 分）已知复数 $z=2+i$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$

11．复数 $z=\frac{1}{1+i}$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$

2．设复数 $z$ 满足 $|z-\mathrm{i}|=1, z$ 在复平面内对应的点为 $(x, y)$ ，则

2．设 $z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})$ ，则 $\bar{z}=$

2．设 $z=-3+2 \mathrm{i}$ ，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于

5．设 i 为虚数单位， $3 \bar{z}-\mathrm{i}=6+5 \mathrm{i}$ ，则 $|z|$ 的值为 $\_\_\_\_$

1．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

2．（5分）设 $z=\frac{1-i}{1+i}+2 i$ ，则 $|z|=$

2．（5 分）若复数 $(1-i)(a+i)$ 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是

2．（5分）已知 $a \in R$ ，$i$ 是虚数单位，若 $z=a+\sqrt{3} i, z \cdot \bar{z}=4$ ，则 $a=$（）

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2 i$ ，则 $|z|=$

3．（5分）设有下面四个命题
$\mathrm{p}_{1}$ ：若复数 z 满足 $\frac{1}{\mathrm{z}} \in \mathrm{R}$ ，则 $\mathrm{z} \in \mathrm{R}$ ；
$\mathrm{p}_{2}$ ：若复数 z 满足 $\mathrm{z}^{2} \in \mathrm{R}$ ，则 $\mathrm{z} \in \mathrm{R}$ ；
$\mathrm{p}_{3}$ ：若复数 $\mathrm{z}_{1}, \mathrm{z}_{2}$ 满足 $\mathrm{z}_{1} \mathrm{z}_{2} \in R$ ，则 $\mathrm{z}_{1}=\overline{\mathrm{z}_{2}}$ ；
$\mathrm{p}_{4}$ ：若复数 $\mathrm{z} \in R$ ，则 $\overline{\mathrm{z}} \in R$ ．
其中的真命题为

1．（5分）已知 $z=(m+3)+(m-1) i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是

2．（5分）设复数 $z$ 满足 $z+i=3-i$ ，则 $\bar{z}=$

2．设 $z=\frac{3+2 \mathrm{i}}{\mathrm{i}}$ ，其中 i 为虚数单位，则 $z$ 的虚部等于 $\_\_\_\_$ ．

2．（5分）设（1＋i）$x=1+y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x+y i|=$（）

2．（5分）若 $z=4+3 i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{|z|}=$

1．$i$ 为虚数单位，$i^{607}$ 的共轭复数为

1．（5分）设复数 $z$ 满足 $\frac{1+z}{1-z}=i$ ，则 $|z|=$（ ）

11．复数 $(1+2 i) i$ 的实部为

15、设 $z_{1}, z_{2} \in \mathrm{C}$ ，则＂$z_{1} , z_{2}$ 中至少有一个数是虚数＂是＂$z_{1}-z_{2}$ 是虚数＂的（）

9．（5 分）复数 $i(1+i)$ 的实部为 $\_\_\_\_$ －1 ．

1．若复数 $z$ 满足 $z(1+i)=2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$

1．实部为 -2 ，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的

11．复数 $\frac{3+i}{i^{2}}$（ $i$ 为虚数单位）的实部等于 $\_\_\_\_$ ．

2．已知复数 $z=(5+2 \mathrm{i})^{2}$（i为虚数单位），则 $z$ 的实部为 $\_\_\_\_$ ．

1．已知复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}=1+2 i$（ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于

1．复数 $\mathrm{z}=\mathrm{i} \cdot(1+\mathrm{i})(\mathrm{i}$ 为虚数单位 $)$ 在复平面上对应的点位于

1．复数的 $Z=-1-2 i$（ $i$ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于模为

11．i 为虚数单位，设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点关于原点对称，若 $z_{1}=2-3 \mathrm{i}$，则 $z_{2}=$

第13题图

11．已知复数 $z=\dfrac{5i}{1+2i}$（$i$ 是虚数单位），则 $|z|=$__________．

（11）已知复数 $1 2z i= +$（i是虚数单位），则$z=$．

2．设m RÎ， 2 22 ( 1)im m m+ - + -是纯虚数，其中i是虚数单位，则 ________$m=$

2．（5 分）在复平面内，复数 $(2-i)^{2}$ 对应的点位于

2．如图，在复平面内，点 $A$ 表示复数 $z$，则图中表示 $z$ 的共轭复数的点是

（2）已知集合 $A=\left\{x \mid 0<\log _{4} x<1\right\}, B=\{x \mid x \leq 2\}$，则 $A \cap B=$

2．（5分）$\left|\frac{2}{1+\mathrm{i}}\right|=$

3、如图，在复平面内，点 $A$ 表示复数 $z$，则图中表示 $z$ 的共轭复数的点是

（2）复数的 $Z=\frac{1}{i-1}$ 模为

4．（5分）在复平面内，复数 $i(2-i)$ 对应的点位于

6．设 z 是复数，则下列命题中的假命题是

12．若 $\frac{3+b \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=a+b \mathrm{i}$（ $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 为实数， i 为虚数单位），则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．复数 $z=i(i+1)$（ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是

（3）已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+i}{(1-\sqrt{3} i)^{2}}$ ，则 $|z|=$

1．若复数 $z=\left(x^{2}-1\right)+(x-1) i$ 为纯虚数，则实数 $x$ 的值为

（2）已知复数 $z=1-2 i$ ，那么 $\frac{1}{\bar{z}}=$

1．在复平面内，复数 $z=\sin 2+i \cos 2$ 对应的点位于

2．（5分）（2008•山东）设 $z$ 的共轭复数是 $\overline{z}$，若 $z + \overline{z} = 4$，$z \cdot \overline{z} = 8$，则 $\frac{\overline{z}}{z}$ 等于（ ）

2．设 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z}$ ，若 $z+\bar{z}=4, z \cdot \bar{z}=8$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z}$ 等于

4．（5分）设 $a \in R$ ，且 $(a+i)^{2} i$ 为正实数，则 $a=$（ ）

4．复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2 i}$ 的虚部是