函数的周期性　·　历年高考数学真题与解析

23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8分．

对于定义域为 R 的函数 $g(x)$，若存在正常数 T，使得 $\cos g(x)$ 是以 T 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期。已知 $f(x)$ 是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R．设 $f(x)$ 单调递增，$f(0)=0, f(\mathrm{~T})=4 \pi$．
（1）验证 $h(x)=x+\sin \frac{x}{3}$ 是以 $6 \pi$ 为周期的余弦周期函数；
②设 $a（3）证明：＂$u_{0}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[0, \mathrm{~T}]$ 上得解＂的充要条件是＂$u_{0}+\mathrm{T}$ 为方程 $\cos f(x)=1$ 在 $[\mathrm{T}, 2 \mathrm{~T}]$ 上有解＂，并证明对任意 $x \in[0, \mathrm{~T}]$ 都有 $f(x+\mathrm{T})=f(x)+f(\mathrm{~T})$．

15．（13 分）已知函数 $f(x)=\frac{(\sin x-\cos x) \sin 2 x}{\sin x}$ ．
（1）求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期；
（2）求 $f(x)$ 的单调递增区间。