函数的最值　·　历年高考数学真题与解析

19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性。此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p(c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q(c)$ ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 $p(c)=0.5 \%$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q(c)$ ；
②设函数 $f(c)=p(c)+q(c)$ ，当 $c \in[95,105]$ 时，求 $f(c)$ 的解析式，并求 $f(c)$ 在区间 $[95,105]$ 的最小值。

14．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-a x+1, & x

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

21．如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12}+y^{2}=1$ ．设 $A, B$ 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 $A B$ 上，直线 $P A, P B$ 分别交直线 $y=-\frac{1}{2} x+3$ 于 $C, D$ 两点．

（1）求点 $P$ 到椭圆上点的距离的最大值；
（2）求 $|C D|$ 的最小值．

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

20．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=a x-x e^{x}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程：
（II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点
（III）若存在 $a$ ，使得 $f(x) \leq a+b$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

3.

已知 $f(x)$ 是定义在上 $[0,1]$ 的函数，那么＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增＂是＂函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$＂的

21．已知函数 $f(x)=\sin ^{2} x \sin 2 x$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, \pi)$ 的单调性；
（2）证明：$|f(x)| \leq \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ；
③设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sin ^{2} x \sin ^{2} 2 x \sin ^{2} 4 x \ldots \sin ^{2} 2^{n} x \leq \frac{3^{n}}{4^{n}}$ ．

15．（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$ ，则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 64

21．（14 分）（2016 • 山东）平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 的焦点 F 是 C 的一个顶点．
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 1 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M．
（i）求证：点 $M$ 在定直线上；
（ii）直线 $l$ 与 y 轴交于点 G，记 $\triangle \mathrm{PFG}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{1}, \triangle \mathrm{PDM}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{2}$，求 $\frac{\mathrm{S}_{1}}{\mathrm{~S}_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标．

## 2016年山东省高考数学试卷（理科）

19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i}(i=1,2, \ldots$ ，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中 $w_{i}=\sqrt{x_{i}}, \quad \bar{w}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} w_{i}$
（I）根据散点图判断，$y=a+b x$ 与 $y=c+d \sqrt{x}$ 哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ 、 $y$ 的关系为 $z=0.2 y-x$ 。根据（II）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费 $\mathrm{x}=49$ 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（ $\mathrm{u}_{1} \quad \mathrm{v}_{1}$ ），（ $\mathrm{u}_{2} \quad \mathrm{v}_{2}$ ）．．．．（ $\mathrm{u}_{\mathrm{n}} v_{n}$ ），其回归线 $v=\alpha+\beta u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehat{\beta}=$

$ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2}}, \quad \widehat{\alpha}=\bar{v}-\widehat{\beta} u . $

21．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=e^{a x} \sin x(x \in[0,+\infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n\left(n \in N^{*}\right)$ 个极值点，证

明：
（1）数列 $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2}-1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}, x_{n}<\left|f\left(x_{n}\right)\right|$ 恒成立．

3．（5分）函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处导数存在，若 $p: f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0: q: x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的

极值点，则

8．设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}, x_{0}\left(x_{0} \neq 0\right)$ 是 $f(x)$ 的极大值点，以下结论

一定正确的是

16．（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\mathrm{kn}$（其中 $\mathrm{k} \in N$ ），且 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最大值为 8 ．
（1）确定常数 k ，求 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ；（2）求数列 $\left\{\frac{9-2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

21．（12分）已知函数 $f(x)=-x^{2}+a x+1-\ln x$ ．
（I）当 $\mathrm{a}=3$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间；

（II）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上是减函数，求实数 $a$ 的取值范围．

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x-1, a \neq 0$
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，直线 $y=m$ 与 $y=f(x)$ 的图象有三个不同的交点，求 $m$ 的取值范围。

20．（12分）（2009•陕西）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{ax}+1)+\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}, ~ \mathrm{x} \geq 0$ ，其中 $\mathrm{a}>0$ ．
（I）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）若 $f(x)$ 的最小值为 1 ，求 $a$ 的取值范围．

21．（12 分）（2008 • 山东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{(1-\mathrm{x})^{\mathrm{n}}}+\mathrm{aln}(\mathrm{x}-1)$ ，其中 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ ，a为常数．
（I）当 $\mathrm{n}=2$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的极值；
（II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明：对任意的正整数 n ，当 $\mathrm{x} \geq 2$ 时，有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{x}-1$ 。

（21）（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=x^{4}+a x^{3}+2 x^{2}+b(x \in R)$ ，其中 $a, b \in R$ ．
（I）当 $a=-\frac{10}{3}$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
（II）若函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处有极值，求 $a$ 的取值范围；
（III）若对于任意的 $a \in[-2,2]$ ，不等式 $f(x) \leq 1$ 在 $[-1,1]$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围．

22．（14 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）若当 $x \in[-1,2]$ 时，$-3 \leq a f(x)+b \leq 3$ ，求 $a-b$ 的最大值。