函数的对称性　·　历年高考数学真题与解析

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

5．将函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值是（ ）

12．已知函数 $f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$ ，则

7．（5分）下列函数中，其图象与函数 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=1$ 对称的是（ ）

9．（5分）已知函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)$ ，则（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(-x)=2-f(x)$ ，若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}+\right. \left.y_{i}\right)=(\quad)$

15．在平面直角坐标系中，当 $P(x, y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为 $P^{\prime}\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{-x}{x^{2}+y^{2}}\right)$ ；

当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的＂伴随点＂为它自身，平面曲线 $C$ 上所有点的＂伴随点＂所构成的曲线 $C^{\prime}$ 定义为曲线 $C$ 的＂伴随曲线＂．现有下列命题：
①若点 $A$ 的＂伴随点＂是点 $A^{\prime}$ ，则点 $A^{\prime}$ 的＂伴随点＂是点 $A$
②单位圆的＂伴随曲线＂是它自身；
③若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其＂伴随曲线＂$C^{\prime}$ 关于 $y$ 轴对称；
④一条直线的＂伴随曲线＂是一条直线．
其中的真命题是 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序列）。

12．（5分）函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x+y=0$ 对称，则 $y=f(x)$ 的反函数是（ ）

（9）
对于函数 $f(x)$ ，若存在常数 $a \neq 0$ ，使得 $x$ 取定义域内的每一个值，都有 $f(x)=f(2 a-x)$ ，则称 $f(x)$ 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是

9．已知函数 $f(x)=\sin (x-\varphi)$，且 $\int_{0}^{\frac{2 \pi}{3}} f(x) d x=0$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴是

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

16．（5分）若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 16 ．

6．将函数 $y=\sqrt{3} \cos x+\sin x(x \in \mathbf{R})$ 的图象向左平移 $m(m>0)$ 个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是

12．（5分）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上，点 Q 在曲线 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 上，则 $|\mathrm{PQ}|$ 最小值为（ ）

8．用 $\min \{a, b\}$ 表示 $a, b$ 两数中的最小值．若函数 $f(x)=\min \{|x|,|x+t|\}$ 的图像关于直线 $x=-\frac{1}{2}$ 对称，则 $t$ 的值为

4．若 $f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c$ 满足 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$

10．（5分）如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称，那么 $|\phi|$ 的最小值为（ ）

8．（5分）如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称，那么

$|\phi|$ 的最小值为（ ）

11．（5 分）（2008 • 四川）设函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=0$ 及直线 $\mathrm{x}=1$ 对称，且 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=x^{2}$ ，则 $f\left(-\frac{3}{2}\right)=$

6．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$

8．（5分）若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\ln \sqrt{x}+1$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则 $f (x)=(\quad)$