二次函数的性质与图象　·　历年高考数学真题与解析

11．已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}}$ ．记 $a=f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right), b=f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right), c=f\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ ，则（ ）

14．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x^{2}+2, x \leq 1, \\ x+\frac{1}{x}-1, x>1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ；若当 $x \in[a, b]$ 时， $1 \leq f(x) \leq 3$ ，则 $b-a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

15．设 $a \in \mathbf{R}$ ，对任意实数 x ，记 $f(x)=\min \left\{|x|-2, x^{2}-a x+3 a-5\right\}$ ．若 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $a \in R$ ，函数 $f(x)=a x^{3}-x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $|f(t+2)-f(t)| \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

11．（5 分）已知 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，且 $x+y=1$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ ．

5．（5 分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 M－m（ ）

12．（5分）已知函数 $f(x)(x \in R)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$ ，若函数 $y=\mid x^{2}-2 x- 3 \mid$ 与

$ y=f(x) $

图象的交点为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right)$ ，则 $\sum_{i=1}^{m} x_{i}=(\quad)$

1．设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}=x\right\}, N=\{x \mid \lg x \leq 0\}$ ，则 $M \bigcup N=$

16．（5分）若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos 2 \mathrm{x}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 是减函数，则 a 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （ $-\infty$ ，2］ ．

8．（5 分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为＂可食用率＂，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t （单位：分钟）满足函数关系 $p=a t^{2}+b t+c$（a，b，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

（11）已知函数 $f(x)=x^{2}-2(a+2) x+a^{2}, g(x)=-x^{2}+2(a-2) x-a^{2}+8$．设 $H_{1}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, H_{2}(x)=\min \{f(x), g(x)\},(\max \{p, q\})$ 表示 $p, q$ 中的较大值，

$\min \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中的较小值，记 $H_{1}(x)$ 得最小值为 $A, H_{2}(x)$ 得最小值为 $B$，则 $A-B=(\quad)$

6．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}$ 的图像与函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4$ 的图像的交点个数为

14．（5 分）已知 $f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2$ ，若同时满足条件：
①$\forall x \in R, f(x)<0$ 或 $g(x)<0$ ；
②$\exists x \in(-\infty,-4), f(x) g(x)<0$ ．
则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－4，－2） ．

16．定义：曲线 $C$ 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线 $l$的距离．已知曲线 $C_{1}: y=x^{2}+a$ 到直线 $l: y=x$ 的距离等于曲线 $C_{2}: x^{2}+(y+4)^{2}=2$ 到直线 $l: y=x$ 的距离，则实数 $a=$

15．（5分）直线 $y=1$ 与曲线 $y=x^{2}-|x|+a$ 有四个交点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （1， $\frac{5}{4}$

4．函数 $f(x)=x^{2}(x \leq 0)$ 的反函数是