二次函数的性质与图象　·　历年高考数学真题与解析

6．已知函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 a x-a, x<0 \\ \mathrm{e}^{x}+\ln (x+1), x \geq 0\end{array}\right.$ ，在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，则 $a$ 取值的范围是（ ）

15．若函数 $f(x)=a x^{2}-2 x-\left|x^{2}-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x

16．（3分）已知曲线 $y=x+\ln x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y=a x^{2}+(a+2) x+1$ 相切，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ 8 ．

20．（本小题满分 12 分，（1）小问 7 分，（2）小问 5 分）
设函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}+a x}{e^{x}}(a \in R)$
（1）若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程；
（2）若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty)$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围。

20．（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）

## 21．（本小题满分 14 分）

（1）已知两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，满足 $a_{1}=a(a>0), b_{1}-a_{1}=1, b_{2}-a_{2}=2, b_{3}-a_{3}=3$ ，

若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}, b_{4}-a_{4}$ 成公差不为 0的等差数列？若存在，求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

## 2011年江西高考文科数学真题及答案

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

## 考生注意：

17．（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=6 x^{3}+3(a+2) x^{2}+2 a x$ ．
（1）若 $f(x)$ 的两个极值点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2}=1$ ，求实数 $a$ 的值；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的单调函数？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分14分）。

已知二次函数 $y=g(x)$ 的导函数的图像与直线 $y=2 x$ 平行，且 $y=g(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极小值 $m-1(m \neq 0)$ 。设函数 $f(x)=\frac{g(x)}{x}$ 。
（1）若曲线 $y=f(x)$ 上的点 $p$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离的最小值为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值；
②$k(k \in R)$ 如何取值时，函数 $y=f(x)-k x$ 存在零点，并求出零点。