2008 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．复数 $\left(i-\frac{1}{i}\right)^{3}$ 等于

2．＂$|x-1|<2$ 成立＂是＂$x(x-3)<0$ 成立＂的（

3．已知变量 $x, y$ 满足条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 1, \\ x-y \leq 0, \\ x+2 y-9 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $x+y$ 的最大值是 $($

4．设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$ ，若 $P(\xi>c+1)=P(\xi

5．设有直线 $m , n$ 和平面 $\alpha , \beta$ ，下列四个命题中，正确的是

6．函数 $f(x)=\sin ^{2} x+\sqrt{3} \sin x \cos x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值是

7．设 $D , E , F$ 分别是 $\triangle A B C$ 的三边 $B C , C A , A B$ 上的点，且 $\overrightarrow{D C}=2 \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{C E}=2 \overrightarrow{E A}$ ， $\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ ，则 $\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B E}+\overrightarrow{C F}$ 与 $\overrightarrow{B C}$

8．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(a>0, b>0)$ 上横坐标为 $\frac{3 a}{2}$ 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（）

9．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 8 个顶点在同一球面上，且 $A B=2, A D=\sqrt{3}, A A_{1}=1$ ，则顶点 $A , B$ 间的球面距离是（ ）

10．设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ），对于给定的 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是（）

11． $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x^{2}+3 x-4}=$ $\_\_\_\_$。

12．已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 F ，右准线为 $l$ ，离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

过顶点 $A(0, b)$ 作 $\mathrm{AM} \perp l$ ，垂足为 M ，则直线 FM 的斜率等于 $\_\_\_\_$ ．

13．设函数 $y=f(x)$ 存在反函数 $y=f^{-1}(x)$ ，且函数 $y=x-f(x)$ 的图象过点 $(1,2)$ ，则函数 $y=f^{-1}(x)-x$ 的图象一定过点 $\_\_\_\_$ ．

16．（本小题满分 12 分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求：
（I）至少有 1 人面试合格的概率；
（II）签约人数 $\xi$ 的分布列和数学期望．

17．（本小题满分 12 分）
如图所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，$\angle B C D=60^{\circ}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，$P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=2$ ．
（I）证明：平面 $P B E \perp$ 平面 $P A B$ ；
（II）求平面 $P A D$ 和平面 $P B E$ 所成二面角（锐角）的大小．

18．（本小题满分 12 分）
数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+\sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$ ．
（I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）设 $b_{n}=\frac{a_{2 n-1}}{a_{2 n}}, S_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$ ．证明：当 $n \geq 6$ 时，$\left|S_{n}-2\right|<\frac{1}{n}$ ．

19．（本小题满分 13 分）
在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域。点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 $A$ ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 $A$ 北偏东 $45^{\circ}$ 且与点 $A$ 相距 40 $\sqrt{2}$ 海里的位置 B ，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 $A$ 北偏东 $45^{\circ}+\theta$（其中 $\sin \theta=\frac{\sqrt{26}}{26}$ ， $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ ）且与点 $A$ 相距 $10 \sqrt{13}$ 海里的位置 $C$ ．
（I）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）；
（II）若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。

20．（本小题满分 13 分）
若 $A , B$ 是抛物线 $y^{2}=4 x$ 上的不同两点，弦 AB （不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，则称弦 $A B$ 是点 $P$ 的一条＂相关弦＂。已知当 $x>2$ 时，点 $P(x, 0)$存在无穷多条＂相关弦＂。给定 $x_{0}>2$ 。
（I）证明：点 $P\left(x_{0}, 0\right)$ 的所有＂相关弦＂中的中点的横坐标相同；
（II）试问：点 $\mathrm{P}\left(x_{0}, 0\right)$ 的＂相关弦＂的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用 $x_{0}$ 表示）：若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\ln ^{2}(1+x)-\frac{x^{2}}{1+x}$ ．

（I）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leq e$ 对任意的 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 都成立（其中 e 是自然对数的底数）。求 $a$ 的最大值．

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，

## 只有一项是符合题目要求的．