2008 地方卷 · 理 数学

已知集合 $M=x=\left\{x \left\lvert\, \frac{x+3}{x-1}<0\right.\right\}, N=\{x \mid x \leqslant-3\}$ ，则集合 $\{x \mid x \geqslant 1\}=()$

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+3+5+\cdots+(2 n-1)}{n(2 n+1)}=$

圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 与直线 $y=k x+2$ 没有公共点的充要条件是

复数 $\frac{1}{-2+i}+\frac{1}{1-2 i}$ 的虚部是

已知 $O, A, B$ 是平面上的三个点，直线 $A B$ 上有一点 $C$ ，满足 $2 \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=0$ ，则 $\overrightarrow{O C}=$（ ）

设 $P$ 为曲线 $C: y=x^{2}+2 x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围为 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ ，则点 $P$ 横坐标的取值范围为

4 张卡片上分别写有数字 $1,2,3,4$ ，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为

将函数 $y=2^{x}+1$ 的图象按向量 $\boldsymbol{a}$ 平移得到函数 $y=2^{x+1}$ 的图象，则

一生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看。现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有

已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2}=2 x$ 上的一个动点，则点 $P$ 到点 $(0,2)$ 的距离与 $P$ 到该抛物线准线的距离之和的最小值为

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E, F$ 分别为棱 $A A_{1}, C C_{1}$ 的中点，则在空间中与三条直线 $A_{1} D_{1}$、 $E F , C D$ 都相交的直线

设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是单调函数，则满足 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$ 的所有 $x$ 之和为

函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x+1, x<0, \\ e^{x}, x \geqslant 0\end{array}\right.$ 的反函数是 $\_\_\_\_$ .

在体积为 $4 \sqrt{3} \pi$ 的球的表面上有 $A, B, C$ 三点，$A B=1, B C=\sqrt{2}, A, C$ 两点的球面距离

为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$ ，则球心到平面 $A B C$ 的距离为 $\_\_\_\_$ .

已知 $\left(1+x+x^{2}\right)\left(x+\frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 的展开式中没有常数项，$n \in \mathbf{N}^{*}$ ，且 $2 \leqslant n \leqslant 8$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

已知 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0), f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ，且 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ 有最小值，无最大值，则 $\omega=$ $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3}),(0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于 4 ，设点 $P$ 的轨迹

为 $C$ ，直线 $y=k x+1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（ I ）写出 $C$ 的方程；
（II）若 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}$ ，求 $k$ 的值；
（III）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k>0$ 时，恒有 $|\overrightarrow{O A}|>|\overrightarrow{O B}|$ ．

（本小题满分 14 分）
设函数 $f(x)=\frac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$ ．
（I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值；
（II）是否存在实数 $a$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x) \geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$ ？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，试说明理由．