2008 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．已知 $U=\{2,3,4,5,6,7\}, M=\{3,4,5,7\}, N=\{2,4,5,6\}$ ，则（ ）

2．＂$|x-1|<2$＂是＂$x<3$＂的（ ）

3．已条变量 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 1, \\ y \leq 2, \\ x-y \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $x+y$ 的最小值是（ ）

4．函数 $f(x)=x^{2}(x \leq 0)$ 的反函数是

5．已知直线 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 和平面 $\alpha, \beta$ 满足 $m \perp n, m \perp a, \alpha \perp \beta$ ，则（  A．$n \perp \beta$ $B . n / / \beta$ ，或 $n \subset \beta$ $C . n \perp \alpha$ $D . n / / \alpha$ ，或 $n \subset \alpha$

6．下面不等式成立的是

7．在 $\triangle A B C$ 中， $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{10}$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$

8．某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目， 则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是（

9．长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 8 个顶点在同一个球面上，且 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ， $A A_{1}=1$ ，则顶点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 间的球面距离是

10．若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（

11．已知向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{3}), \vec{b}=(-2,0)$ ，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$ $\_\_\_\_$ ．

12．从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： | 性别 <br> 生活能否自理 | 男 | 女 | | :--- | :--- | :--- | | 能 | 178 | 278 | | 不能 | 23 | 21 | 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 $\_\_\_\_$人。

13．记 $\left(2 x+\frac{1}{x}\right)^{n}$ 的展开式中第 m 项的系数为 $b_{m}$ ，若 $b_{3}=2 b_{4}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．

14．将圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C ，则 $\_\_\_\_$ ， $l$ 和圆 C 相切，则直线 $l$ 的斜率为 $\_\_\_\_$ ． 

15．设 $[x]$ 表示不超过 x 的最大整数，$\left(\right.$ 如 $\left.[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1\right)$ 。对于给定的 $n \in N^{+}$， 定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1)(n-2) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ； 当 $x \in[2,3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\_\_\_\_$。 ## 三．

16．（本小题满分 12 分） 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且面试是否合格互不影响。求： （I）至少一人面试合格的概率； （II）没有人签约的概率。

17．（本小题满分 12 分） 已知函数 $f(x)=\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}+\sin x$ ． （I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期； （II）当 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 且 $f\left(x_{0}\right)=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ 时，求 $f\left(x_{0}+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值。

18．（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 1 的菱形，$\angle B C D=60^{\circ}$ ， E 是 CD 的中点， $\mathrm{PA} \perp$ 底面 $\mathrm{ABCD}, ~ P A=\sqrt{3}$ 。 （I）证明：平面 $\mathrm{PBE} \perp$ 平面 PAB ； （II）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BE}-\mathrm{P}$ 的大小。  19 （本小题满分 13 分） 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 $F(2,0)$ ，且两条准线间的距离为 $\lambda(\lambda>4)$ 。 （I）求椭圆的方程； （II）若存在过点 $\mathrm{A}(1,0)$ 的直线 $l$ ，使点 F 关于直线 $l$ 的对称点在椭圆上，求 $\lambda$ 的取值范围。

20．（本小题满分 13 分） 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=0, a_{2}=2, a_{n+2}=\left(1+\cos ^{2} \frac{n \pi}{2}\right) a_{n}+4 \sin ^{2} \frac{n \pi}{2}, n=1,2,3, \cdots$, （I）求 $a_{3}, a_{4}$ ，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）设 $S_{k}=a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 k-1}, T_{k}=a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 k}, W_{k}=\frac{2 S_{k}}{2+T_{k}}\left(k \in N^{+}\right)$， 求使 $W_{k}>1$ 的所有 k 的值，并说明理由。

21．（本小题满分 13 分） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{4} x^{4}+x^{3}-\frac{9}{2} x^{2}+c x$ 有三个极值点。 （I）证明：$-27<c<5$ ； （II）若存在实数 c ，使函数 $f(x)$ 在区间 $[a, a+2]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围。 ## 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文科数学能力测试 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。