2016 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）（2016 • 山东）若复数 $z$ 满足 $2 z+\bar{z}=3-2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=()$ A． $1+2 \mathrm{i}$ B． $1-2 \mathrm{iC} .-1+2 \mathrm{i}$ D．$-1-2 \mathrm{i}$

2．（5 分）（2016 • 山东）设集合 $A=\left\{y \mid y=2^{x}, ~ x \in R\right\}, ~ B=\left\{x \mid x^{2}-1<0\right\}$ ，则 $A \cup B=$（）

3．（5分）（2016•山东）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是［17．5，30］，样本数据分组为［17．5， 20 ），［20，22．5），［22．5，25），［25，27．5），［27．5，30］．根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ） 

4．（5 分）（2016•山东）若变量 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leqslant 2 \\ 2 x-3 y \leqslant 9 \\ x \geqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最大值是（ ）

5．（5 分）（2016•山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）   正（主）视图 侧（左）视图  俯视图

6．（5 分）（2016 • 山东）已知直线 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 分别在两个不同的平面 $\alpha, \beta$ 内．则＂直线 a 和直线 b相交＂是＂平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交＂的（）

7．（5分）（2016•山东）函数 $f(x)=(\sqrt{3} \sin x+\cos x)(\sqrt{3} \cos x-\sin x)$ 的最小正周期是（ ）

8．（5 分）（2016 • 山东）已知非零向量 $\vec{\Pi}, \vec{n}$ 满足 $4|\vec{\Pi}|=3|\vec{n}|, \cos <\vec{\Pi}, \vec{n}>=\frac{1}{3}$ 。若 $\vec{n} \perp (t \vec{\pi}+\vec{n})$ ，则实数 $t$ 的值为

9．（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ．当 $x<0$ 时，$f(x)=x^{3}-1$ ；当 $-1 \leq x \leq 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$ ；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ．则 $f(6)=$

10．（5 分）（2016 •山东）若函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是

11．（5 分）（2016 • 山东）执行如图的程序框图，若输入的 $\mathrm{a}, ~ \mathrm{~b}$ 的值分别为 0 和 9 ，则输出的 i 的值为 $\_\_\_\_$。 

12．（5 分）（2016 ⋅ 山东）若 $\left(a x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{5}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数是 -80 ，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

13．（5 分）（2016 • 山东）已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，若矩形 $A B C D$ 的四个顶点在 E 上， $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|\mathrm{AB}|=3|\mathrm{BC}|$ ，则 E 的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

14．（5 分）（2016 • 山东）在 $[-1,1]$ 上随机地取一个数 k ，则事件＂直线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 与圆（ $\mathrm{x}-5$ ） ${ }^{2}+y^{2}=9$ 相交＂发生的概率为 $\_\_\_\_$。

15．（5 分）（2016 • 山东）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leqslant m \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m\end{array}\right.$ ，其中 $m>0$ ，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{b}$ 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

16．（12 分）（2016•山东）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 A，B，C 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 2 $(\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}}{\cos \mathrm{B}}+\frac{\tan \mathrm{B}}{\cos \mathrm{A}}$ ． （ I ）证明： $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2 \mathrm{c}$ ； （II）求 $\cos \mathrm{C}$ 的最小值．

17．（12分）（2016－山东）在如图所示的圆台中， AC 是下底面圆 O 的直径， EF 是上底面圆 $\mathrm{O}^{\prime}$ 的直径， FB 是圆台的一条母线． （I）已知 $\mathrm{G}, \mathrm{H}$ 分别为 $\mathrm{EC}, \mathrm{FB}$ 的中点，求证： $\mathrm{GH} \|$ 平面 ABC ； （II）已知 $\mathrm{EF}=\mathrm{FB}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=2 \sqrt{3}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ ，求二面角 $\mathrm{F}-\mathrm{BC}-\mathrm{A}$ 的余弦值． 

18．（12 分）（2016 •山东）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$ ． （I）求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$ ，求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

19．（12分）（2016－山东）甲、乙两人组成＂星队＂参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则＂星队＂得3分；如果只有一个人猜对，则＂星队＂得 1 分；如果两人都没猜对，则＂星队＂得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设＂星队＂参加两轮活动，求： （I）＂星队＂至少猜对 3 个成语的概率； （II）＂星队＂两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX。

20．（13 分）（2016 • 山东）已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2 x-1}{x^{2}}, a \in R$ ． （I）讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）当 $\mathrm{a}=1$ 时，证明 $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\frac{3}{2}$ 对于任意的 $\mathrm{x} \in[1,2]$ 成立．

21．（14 分）（2016 • 山东）平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{x}^{2}=2 \mathrm{y}$ 的焦点 F 是 C 的一个顶点． （I）求椭圆 C 的方程； （II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 1 与 C 交与不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M． （i）求证：点 $M$ 在定直线上； （ii）直线 $l$ 与 y 轴交于点 G，记 $\triangle \mathrm{PFG}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{1}, \triangle \mathrm{PDM}$ 的面积为 $\mathrm{S}_{2}$，求 $\frac{\mathrm{S}_{1}}{\mathrm{~S}_{2}}$ 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标．  ## 2016年山东省高考数学试卷（理科）