2016 地方卷 · 文 数学

若复数 $z=\frac{2}{1-\mathrm{i}}$ ，其中 i 为虚数单位，则 $\bar{z}=$

若变量 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 2, \\ 2 x-3 y \leq 9, \text { 则 } x^{2}+y^{2} \text { 的最大值是 } \\ x \geq 0,\end{array}\right.$

已知圆 $M: x^{2}+y^{2}-2 a y=0(a>0)$ 截直线 $x+y=0$ 所得线段的长度是 $2 \sqrt{2}$ ，则圆 $M$ 与圆 $N$ ： $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 的位置关系是

$\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b=c, a^{2}=2 b^{2}(1-\sin A)$ ，则 $A=$

已知函数 $\mathrm{f}(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ．当 $x<0$ 时， $\mathrm{f}(x)=x^{3}-1$ ；当 $-1 \leq x \leq 1$ 时， $\mathrm{f}(-x)=-\mathrm{f}(x)$ ；当 $x>\frac{1}{2}$ 时， $\mathrm{f}\left(x+\frac{1}{2}\right)=\mathrm{f}(\mathrm{x}- \frac{1}{2}$ ）．则 $f(6)=$

若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f(x)$ 具有 T 性质。下列函数中具有 T 性质的是学科 $\&$ 网

执行右边的程序框图，若输入 $n$ 的值为 3 ，则输出的 S 的值为 $\_\_\_\_$。

观察下列等式：
$\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{-2}=\frac{4}{3} \times 1 \times 2$ ；
$\left(\sin \frac{\pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{2 \pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{3 \pi}{5}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{4 \pi}{5}\right)^{-2}=\frac{4}{3} \times 2 \times 3 ;$
$\left(\sin \frac{\pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{2 \pi}{7}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{3 \pi}{7}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin \frac{6 \pi}{7}\right)^{-2}=\frac{4}{3} \times 3 \times 4 ;$
$\left(\sin \frac{\pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{2 \pi}{9}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{3 \pi}{9}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin \frac{8 \pi}{9}\right)^{-2}=\frac{4}{3} \times 4 \times 5 ;$

照此规律，$\left(\sin \frac{\pi}{2 n+1}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{2 \pi}{2 n+1}\right)^{-2}+\left(\sin \frac{3 \pi}{2 n+1}\right)^{-2}+\cdots+\left(\sin \frac{2 n \pi}{2 n+1}\right)^{-2}=$ $\_\_\_\_$ ．

已知向量 $a=(1,-1), b=(6,-4)$ ．若 $a \perp(t a+b)$ ，则实数 $t$ 的值为 $\_\_\_\_$。

已知双曲线 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-$
$\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ．矩形 $A B C D$ 的四个顶点在 $E$ 上，$A B, C D$ 的中点为 $E$ 的两个焦点，且 $2|A B|=3|B C|$ ，则 $E$的离心率是 $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|x|, x \leq m, \\ x^{2}-2 m x+4 m, x>m,\end{array}\right.$ 其中 $m>0$ 。若存在实数 $b$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 有三个不同的根，则 $m$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 12 分）
某儿童乐园在＂六一＂儿童节退出了一项趣味活动。参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后 ，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为 $x, y$ ．奖励规则如下：
（1）若 $x y \leq 3$ ，则奖励玩具一个；学科 $\&$ 网
（2）若 $x y \geq 8$ ，则奖励水杯一个；
（3）其余情况奖励饮料一瓶。
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
（I）求小亮获得玩具的概率；
（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

（16）

（17）（本小题满分 12 分）

设 $f(x)=2 \sqrt{3} \sin (\pi-x) \sin x-(\sin x-\cos x)^{2}$ ．
（I）求 $f(x)$ 得单调递增区间；
（II）把 $y=f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

$\frac{\pi}{3}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

（17）

（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n^{2}+8 n,\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，且 $a_{n}=b_{n}+b_{n+1}$．
（I）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）令 $c_{n}=\frac{\left(a_{n}+1\right)^{n+1}}{\left(b_{n}+2\right)^{n}}$．求数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$．

（19）

（20）（本小题满分 13 分）

设 $f(x)=x \ln x-a x^{2}+(2 a-1) x, a \in R$ ．
（I）令 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，求 $g(x)$ 的单调区间；
（II）已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值．求实数 $a$ 的取值范围．

（20）