2008 江苏卷 数学

（5分）（2008•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=3$ ，则 $|5 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ ．

（ 5 分）（ 2008 •江苏）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是 $\_\_\_\_$。

（5 分）（2008 • 江苏）设直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 是曲线 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}(\mathrm{x}>0)$ 的一条切线，则实数 b 的值为
$\_\_\_\_$。

（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 $\mathrm{A}(0, \mathrm{a}), \mathrm{B}(\mathrm{b}, 0)$ ， $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0)$ ，点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{p})$ 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{p}$ 均为非零实数，设直线 $\mathrm{BP}, \mathrm{CP}$ 分别与边 $A C, A B$ 交于点 $E, F$ ，某同学已正确求得直线 $O E$ 的方程为 $\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right) x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right) y=0$ ，请你完成直线 $O F$的方程： $\_\_\_\_$ ．

（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{b}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C。
（1）求实数 b 的取值范围；
（2）求圆 C 的方程；
（3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论。