2008 江苏卷 数学

（5分）（2008 • 江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有 $1,2,3,4,5,6$ 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是 $\_\_\_\_$。

（5分）（2008 • 江苏）若将复数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 表示为 $\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}, \mathrm{i}$ 是虚数单位）的形式，则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2008 • 江苏）若集合 $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \mid(\mathrm{x}-1)^{2}<3 \mathrm{x}+7, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中有 $\_\_\_\_$个元素。

（5分）（2008•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=3$ ，则 $|5 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ ．

（ 5 分）（ 2008 •江苏）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是 $\_\_\_\_$。

（5 分）（2008 • 江苏）设直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 是曲线 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}(\mathrm{x}>0)$ 的一条切线，则实数 b 的值为
$\_\_\_\_$。

（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 $\mathrm{A}(0, \mathrm{a}), \mathrm{B}(\mathrm{b}, 0)$ ， $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0)$ ，点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{p})$ 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{p}$ 均为非零实数，设直线 $\mathrm{BP}, \mathrm{CP}$ 分别与边 $A C, A B$ 交于点 $E, F$ ，某同学已正确求得直线 $O E$ 的方程为 $\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right) x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right) y=0$ ，请你完成直线 $O F$的方程： $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2008•江苏）设 $x, y, z$ 为正实数，满足 $x-2 y+3 z=0$ ，则 $\frac{y^{2}}{x z}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

（5分）（2008•江苏）$f(x)=a x^{3}-3 x+1$ 对于 $x \in[-1,1]$ 总有 $f(x) \geq 0$ 成立，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{b}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C。
（1）求实数 b 的取值范围；
（2）求圆 C 的方程；
（3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论。

（2008•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 上的一个动点，求 $S=x+y$ 的最大值．

（2008•江苏）设 $a, b, c$ 为正实数，求证：$\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}+a b c \geqslant 2 \sqrt{3}$ ．