2021 新课标 II 卷 数学（新高考二卷）

复数 $\frac{2-\mathrm{i}}{1-3 \mathrm{i}}$ 在复平面内对应的点所在的象限为

设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{1,3,6\}, B=\{2,3,4\}$ ，则 $A \cap\left(\varpi_{0} B\right)=(\quad)$

抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $p=$

北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 36000 km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）。将地球看作是一个球心为 $O$ ，半径 $r$ 为 6400 km 的球，其上点 $A$ 的纬度是指 OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$ ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为 $S=2 \pi r^{2}(1-\cos \alpha)$（单位： $\left.\mathrm{km}^{2}\right)$ ，则 $S$ 占地球表面积的百分比约为（ ）

正四棱台的上、下底面的边长分别为 2,4 ，侧棱长为 2 ，则其体积为（ ）

某物理量的测量结果服从正态分布 $N\left(10, \sigma^{2}\right)$ ，下列结论中不正确的是（ ）

已知 $a=\log _{5} 2, b=\log _{8} 3, c=\frac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+2)$ 为偶函数，$f(2 x+1)$ 为奇函数，则

下列统计量中，能度量样本 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的离散程度的是

如图，在正方体中，$O$ 为底面的中心，$P$ 为所在棱的中点，$M, N$ 为正方体的顶点．则满足 $M N \perp O P$ 的是

已知直线 $l: a x+b y-r^{2}=0$ 与圆 $C: x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ，点 $A(a, b)$ ，则下列说法正确的是（ ）

设正整数 $n=a_{0} \cdot 2^{0}+a_{1} \cdot 2+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in\{0,1\}$ ，记 $\omega(n)=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{k}$ ．则

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，则该双曲线的渐近线方程为

写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．

已知向量 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$

已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是

记 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}=S_{5}, a_{2} a_{4}=S_{4}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）求使 $S_{n}>a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

在 $\triangle A B C$ 中，角 $\mathrm{A} , B , C$ 所对的边长分别为 $a , b , c, b=a+1, c=a+2 \ldots$
（1）若 $2 \sin C=3 \sin A$ ，求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）是否存在正整数 $a$ ，使得 $\triangle A B C$ 为钝角三角形？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由．

在四棱锥 $Q-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，若 $A D=2, Q D=Q A=\sqrt{5}, Q C=3$ ．

（1）证明：平面 $Q A D \perp$ 平面 $A B C D$ ；

（2）求二面角 $B-Q D-A$ 的平面角的余弦值．

已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点
①$\frac{1}{2}<a \leq \frac{e^{2}}{2}, b>2 a$ ；
② $0<a<\frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．