2021 天津卷 数学

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac { 3 2 \pi } { 3 }$ ，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

若 $2 ^ { a } = 5 ^ { b } = 1 0$ ，则 $\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = \mathrm { ~ ( ~ }$ ）

已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的右焦点与抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ 的焦点重合， 抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 $\left| C D \right| = { \sqrt { 2 } } \mid A B \mid$ ．则双曲线的离心率为（ ）

i是虚数单位，复数 $\frac { 9 + 2 \mathrm { i } } { 2 + \mathrm { i } } =$

在 $\left( 2 x ^ { 3 } + { \frac { 1 } { x } } \right) ^ { 6 }$ 的展开式中， $x ^ { 6 }$ 的系数是

若斜率为 $\sqrt { 3 }$ _的直线与y_{轴交于点A，与圆} $x ^ { 2 } + \left( y - 1 \right) ^ { 2 } = 1$ 相切于点B，则 $\left| A B \right| =$

若 $a > 0 \ , \ b > 0$ ，则 $\frac { 1 } { a } + \frac { a } { b ^ { 2 } } + b$ 的最小值为

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac { 5 } { 6 }$ 和 $\frac { 1 } { 5 }$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 \_，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为

在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， $D E \bot A B$ 且交AB于点E$D F / / A B$ 且交AC于点F,则 $\vert 2 \overrightarrow { B E } + \overrightarrow { D F } \vert$ |的值为\_ $( \overrightarrow { D E } + \overrightarrow { D F } ) \cdot \overrightarrow { D A }$ 的最小值为

如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点

（I）求证： $D _ { 1 } F / /$ 平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ ；

（II）求直线 $A C _ { 1 }$ 与平面 $A _ { 1 } E C _ { 1 }$ 所成角 正弦值的

（III）求二面角 $A - A _ { 1 } C _ { 1 } - E$ 的正弦值

已知椭圆 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } + { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 { \bigl ( } a > b > 0 { \bigr ) }$ 的右焦点为F ，上顶点为B，离心率为 $\frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ ，且$\left| B F \right| = \sqrt { 5 }$

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M ，与^y 轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x 轴于点P．若MP BF// ，求直线l的方程

已知 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 是公差为2的等差数列，其前8项和为64 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 是公比大于0的等比数列，

$ b _ { 1 } = 4 , b _ { 3 } - b _ { 2 } = 4 8 $

（I）求 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 和 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（II）记 $c _ { n } = b _ { 2 n } + \frac { 1 } { b _ { n } } , n \in N ^ { * }$

（i）证明 $\left\{ c _ { n } ^ { 2 } - c _ { 2 n } \right\}$ 是等比数列；

（ii）证明 $\sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { \frac { a _ { k } a _ { k + 1 } } { c _ { k } ^ { 2 } - c _ { 2 k } } } < 2 \sqrt { 2 } \left( n \in N ^ { * } \right)$

已知 a > 0 ，函数 $f ( x ) = a x - x e ^ { x }$

（I）求曲线 y f x= ( ) 在点 (0, (0))f 处的切线方程：

（II）证明f x( )存在唯一的极值点

（III）若存在a，使得 $f ( x ) \leq a + b$ 对任意 $x \in \mathbf { R }$ 成立，求实数b的取值范围