导数在研究函数中的作用 · 分类讨论

代表题目（12）

1. 2025 年上海卷 第19题解答题

   已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$ (1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$…

2. 2021 年全国甲卷（文科） 第20题解答题

   设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．

3. 2020 年新课标 I 卷（文科） 第20题解答题

   已知函数 $f(x)=e^{x}-a(x+2)$ ． （1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

4. 2018 年新课标 I 卷（理科） 第21题解答题

   已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-x+a \ln x$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明：…

5. 2017 年新课标 III 卷（文科） 第21题解答题

   已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）当 $a<0$ 时，证明 $f(x) \leq-\frac{3}{4 a}-2$ ．

6. 2016 年新课标 III 卷（文科） 第21题解答题

   设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）证明当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1<\frac{x-1}{\ln x}<x$ ； ③设 $c>1$ ，证明当 $x \in(0,1)$ 时，…

7. 2015 年退役省自主命题（文科） 第6题解答题

   已知函数 $f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}(a>0, r>0)$ （I）求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $\frac{a}{r}=400$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的…

8. 2014 年新课标 II 卷（理科） 第21题解答题

   已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ． （I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性； （II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值； （III）已知…

9. 2014 年大纲版（文科） 第21题解答题

   函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+3 x(a \neq 0)$ ． （I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性； （II）若 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 是增函数，求 $a$ 的取值范围．

10. 2013 年大纲版（文科） 第21题解答题

    已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ． （I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

11. 2012 年浙江卷（理科） 第22题解答题

    （本题满分 14 分）已知 $a>0, b \in R$ ，函数 $f(x)=4 a x^{3}-2 b x-a+b$ ． （I）证明：当 $0 \leq x \leq 1$ 时， （i）函数 $f(x)$ 的最大值为 $|2 a-b|+a$ ； （ii）…

12. 2009 年旧全国 II 卷（文科） 第21题解答题

    设函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-(1+a) x^{2}+4 a x+24 a$ ，其中常数 $a>1$ ， （I）讨论f（x）的单调性； （II）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．