分类讨论（解题方法）
本页收录 76 道高考数学真题，来自 2008–2025 年共 72 套试卷。题目形式：解答题 72 道、单选题 2 道。出现最多的卷区：全国 51 道、?? 4 道、北京 4 道。最常关联的考点：导数在研究函数中的作用（12 道）、函数的单调性（2 道）、含参讨论（2 道）。2013 年出现最多，共 13 道。
代表题目（30 / 76）
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已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$ (1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$…
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已知函数 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{2} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ． （1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若 $f(x)+\sin x<0$…
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已知 $f(x)=a x-\frac{\sin x}{\cos ^{3} x}, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ （1）若 $\boldsymbol{a}=8$ ，讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）若…
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已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ． ①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； ②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围； ③设…
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设函数 $f { \big ( } x { \big ) } = { \left\{ \right.} { \begin{array} { l l } { - a x + 1 , } & { x < a , } \\ { \left( x - 2 \right) ^ { 2 } , } & { x \geq a . } \end{array} } $…
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已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点 ①$\frac{1}{2}<a \leq \frac{e^{2}}{2}, b>2 a$…
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设函数 $f ( x ) = a ^ { 2 } x ^ { 2 } + a x - 3 \ln x + 1$ ，其中 $a > 0$ (1）讨论f(x)的单调性； （2）若 $y = f ( x )$ 的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
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已知函数 $f ( x ) = e ^ { x } - a ( x + 2 )$ （1）当 a =1时，讨论 f x( ) 的单调性； （2）若f x( ) 有两个零点，求a的取值范围.
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已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+a x^{2}-x$ ． ①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； ②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ ，求 $a$ 的取值范围．
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（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设点集 $A_{n}=\{(0,0),(1,0),(2,0), \ldots,(n, 0)\}$ ，…
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已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{x+1}{x-1}$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性，并证明 $f(x)$ 有且仅有两个零点； （2）设 $x_{0}$ 是 $f(x)$ 的一个零点，证明曲线 $y=\ln x$ 在点…
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已知函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { \mathbf { x } } - \mathbf { x } + \mathbf { a } \ln \mathbf { x } .$ （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f…
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设函数 $f ( \mathbf { x } ) \ = \ [ \mathbf { a } \mathbf { x } ^ { 2 } \mathbf { \Sigma } ( \mathbf { 3 a } + 1 ) \mathbf { \Sigma } \mathbf { x } + \mathbf { 3 a } + 2 ] \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } }$…
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某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： $^ { \circ } \mathrm { C } )$ 有关．如果最高气温…
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在直角坐标系 ${ \tt x o y } \oplus { \tt \oplus } { \tt \oplus }$ ，曲线C的参数方程为…
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（本小题满分 14 分） 设函数 $f(x)=a x^{2}-a-\ln x, g(x)=\frac{1}{x}-\frac{e}{e^{x}}$ ，其中 $q \in R, \mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数． （I）讨论…
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设函数 $f(x)=\ln x-x+1$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）证明当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $1<\frac{x-1}{\ln x}<x$ ； ③设 $c>1$ ，证明当 $x \in(0,1)$ 时，…
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设函数 $f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ 。 （I）讨论 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 零点的个数； （II）证明：当 $a>0$ 时，$f(x) \geq 2 a+a \ln \frac{2}{a}$ ．
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已知函数 $f(x)=\frac{a x}{(x+r)^{2}}(a>0, r>0)$ （I）求 $f(x)$ 的定义域，并讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $\frac{a}{r}=400$ ，求 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的…
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（ 12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0 ． $6,0.5,0.5,0.4, ~$ 各人是否需使用设备相互独立． （I）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率； （II）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求…
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设函数 $f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a| \quad(a>0)$ 。 （ I ）证明： $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 2$ ； （II）若 $f$（3）＜5，求 $a$ 的取值范围．
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（2013•浙江）在公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{1}=10$ ，且 $a_{1}, 2 a_{2}+2,5 a_{3}$ 成等比数列． （I）求…
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已知函数 $f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 x+1$ ． （I）求 $a=\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）若 $x \in[2,+\infty)$ 时，$f(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．
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设 $a _ { n } = { \frac { 1 } { n } } \mathrm { s i n } { \frac { n \pi } { 2 5 } } , S _ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n }$…
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（本小题满分 13 分） 某企业接到生产 3000 台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2， 1 （单位：件）．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C部件 2 件。该企业计划安排…
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## 22．（本小题满分13分） 设函数 $f ( x ) = x - { \frac { 1 } { x } } - a \ln x ( a \in R )$ （Ⅰ）讨论函数 f x( )的单调性. （Ⅱ）若f x( )有两个极值点…
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## 23．（本小题满分10分） 设整数 $n \geq 4$ ，P a b( , )是平面直角坐标系xOy中的点，其中 $a , b \in \left\{ 1 , 2 , 3 , \dotsc , n \right\}$ $a > b$ （1）记…
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已知 $\triangle A B C$ 的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C
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（本小题共14分） 设函数 $f(x)=x^{3}-3 a x+b(a \neq 0)$ ． （I）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处与直线 $y=8$ 相切，求 $a, b$ 的值； （II）求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值点．
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设函数$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-(1+a)x^{2}+4ax+24a$，其中常数$a>1$， （Ⅰ）讨论$f(x)$的单调性； （Ⅱ）若当$x\geq0$时，$f(x)>0$恒成立，求$a$的取值范围．
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