2011 北京卷 · 文 数学

已知全集 $\mathrm{U}=\mathrm{R}$ ，集合 $\mathrm{P}=\left\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}^{2} \leq 1\right\}$ ，那么 $\complement_{U} P=$

复数 $\frac{i-2}{1+2 i}=$

如果 $\log _{\frac{1}{2}} x<\log _{\frac{1}{2}} y<0$ ，那么

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产

x 件，则平均仓储时间为 $\frac{x}{8}$ 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

在 $\triangle A B C$ 中．若 $\mathrm{b}=5, \angle B=\frac{\pi}{4}, \sin \mathrm{~A}=\frac{1}{3}$ ，则 $\mathrm{a}=$ $\_\_\_\_$ ．

已知双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的一条渐近线的方程为 $y=2 x$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

已知向量 $a=(\sqrt{3}, 1), b=(0,-1), c=(k, \sqrt{3})$ ．若 $a-$ 2 b 与 c 共线，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x}, & x \geq 2 \\ (x-1)^{3}, & x<2\end{array}\right.$ 若关于 x
的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

设 $A(0,0), B(4,0), C(t+4,3), D(t, 3)(t \in R)$ 。记 $N(t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 $N(0)=$ $\_\_\_\_$
$N(t)$ 的所有可能取值为 $\_\_\_\_$

三、解答题6小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

（本小题共13分）
若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
（I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ；
（II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ；
（III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．