2011 地方卷 数学

“$x>1$”是“$|x|>1$”的

设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A $9 \pi + 4 2$ B $3 6 \pi + 1 8$ C ${ \frac { 9 } { 2 } } \pi + 1 2$ D ${ \frac { 9 } { 2 } } \pi + 1 8$

正视图
侧视图

俯视图

_图1

通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>男</td><td rowspan=1 colspan=1>女</td><td rowspan=1 colspan=1>总计</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>爱好</td><td rowspan=1 colspan=1>40</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td><td rowspan=1 colspan=1>60</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>不爱好</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td><td rowspan=1 colspan=1>30</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>总计</td><td rowspan=1 colspan=1>60</td><td rowspan=1 colspan=1>50</td><td rowspan=1 colspan=1>110</td></tr></table>

由 $K ^ { 2 } = { \frac { n ( a d - b c ) ^ { 2 } } { ( a + d ) ( c + d ) ( a + c ) ( b + d ) } }$ 算得， $K ^ { 2 } = \frac { 1 1 0 \times ( 4 0 \times 3 0 - 2 0 \times 2 0 ) ^ { 2 } } { 6 0 \times 5 0 \times 6 0 \times 5 0 } \approx 7 . 8$

附表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1> $p ( K ^ { 2 } \geq k )$ </td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr></table>

参照附表，得到的正确结论是

设双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 ( a > 0 )$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y = 0$ ，则a的值为

已知函数 $f ( x ) = e ^ { x } - 1 , g ( x ) = - x ^ { 2 } + 4 x - 3$ ，若有 $f ( a ) = g ( b )$ ，则b的取值范围为

在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 2 \cos \alpha , } \\ { y = { \sqrt { 3 } } \sin \alpha } \end{array} \right.$ （a为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线 $C _ { 2 }$ 的方程为 $\rho { \big ( } \cos \theta - \sin \theta { \big ) } + 1 = 0$ ，则 $| C _ { 1 }$ 与 $\mathrm { \dot { C } } _ { 2 }$ 的交点个数为

已知f（x）为奇函数， $\textbf { g } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) + 9 , \textbf { g } ( - 2 ) = 3$ ，则f（2）=

设 $m > 1 ,$ 在约束条件, $\left\{ \begin{array} { c } { y \geq x } \\ { y \leq m x } \\ { x + y \leq 1 } \end{array} \right.$ 下，目标函数 $z = x + 5 y$ 的最大值为4，则 的值为 m

已知圆 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 2$ 直线, $l : 4 x + 3 y = 2 5$

（1）圆 的圆心到直线 的距离为 C l

（2）圆 上任意一点 到直线 的距离小于2的概率为 C A l

给定 $k\in N^*$，设函数 $f:N^*\to N^*$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n$，$f(n)=n-k$
（1）设 $k=1$，则其中一个函数 $f$ 在 $n=1$ 处的函数值为______；
（2）设 $k=4$，且当 $n\le4$ 时，$2\le f(n)\le3$，则不同的函数 $f$ 的个数为______．

（本小题满分12分）
在$\triangle ABC$中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且满足$c\sin A=a\cos C$.
（I）求角C的大小；
（II）求$\sqrt{3}\sin A-\cos\left(B+\dfrac{\pi}{4}\right)$的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小.

19．（本小题满分12分）

如图3，在圆锥 中，已知PO $P O = { \sqrt { 2 } } , \odot O$ 的直径$A B = 2 .$ C,点 在 $\widehat { A B }$ 上,且 $\angle C A B = 3 0 ^ { \circ }$ D AC , 为的中点

（Ⅰ）证明：AC ^平面POD;

（Ⅱ）求直线 OC和平面PAC 所成角的正弦值.

图3

20．（本小题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%

（Ⅰ）求第 n年初 M 的价值 $a _ { n }$ 的表达式；

（Ⅱ）设 $A _ { n } = { \frac { a _ { 1 } + a _ { 2 } + \ldots + a _ { n } } { n } }$ ，若 $A _ { n }$ 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新

21．（本小题满分13分）

已知平面内一动点 P 到点 F(1,0) 的距离与点 P到 y 轴的距离的差等于1

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l _ { 1 } , l _ { 2 }$ ，设 $l _ { 1 }$ 与轨迹C相交于点

A B, ， $l _ { 2 }$ 与轨迹C相交于点D E, ，求 $\overrightarrow { A D } , \overrightarrow { E B }$ 的最小值.

22．（本小题满分13分）

设函数 $f ( x ) = x - { \frac { 1 } { x } } - a \ln x ( a \in R )$

（Ⅰ）讨论函数 f x( )的单调性.

（Ⅱ）若f x( )有两个极值点 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ ，记过点 $A ( x _ { 1 } , f ( x _ { 1 } ) ) , B ( x _ { 2 } , f ( x _ { 2 } ) )$ 的直线斜率为k.问：是否存在a，使得 $k = 2 - a \ ?$ 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）