2011 天津卷 · 理 数学

$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1-3 i}{1-i}=$

设 $x, y \in R$ ，则＂$x \geq 2$ 且 $y \geq 2$＂是＂$x^{2}+y^{2} \geq 4$＂的

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 $i$ 的值为

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，其公差为 -2 ，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，$S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$n \in N^{*}$ ，则 $S_{10}$ 的值为

在 $\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中，$x^{2}$ 的系数为

已知 $a = 5^{\log_2 3.4}, b = 5^{\log_4 3.6}, c = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{\log_3 0.3}$，则

9．一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的、 、

数为 $\_\_\_\_$

11．已知抛物线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=8 t^{2}, \\ y=8 t .\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）若斜率为 1 的

直线经过抛物线 $C$ 的焦点，且与圆 $(x-4)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

13．已知集合 $A=\left\{x \in R| | x+3|+|x-4| \leq 9\}, B=\left\{x \in R \left\lvert\, x=4 t+\frac{1}{t}-6\right., t \in(0,+\infty)\right\}\right.$ ，则集合 $A \cap B=$ $\_\_\_\_$ ．

14．已知直角梯形 $A B C D$ 中，$A D / / B C, \angle A D C=90^{\circ}, A D=2, B C=1, P$ 是腰 $D C$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{P A}+3 \overrightarrow{P B}|$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

18．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(a, b)(a>b>0)$ 为动点，$F_{1}, F_{2}$

分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的左右焦点．已知 $\triangle F_{1} P F_{2}$ 为等腰三角形．
（I）求椭圆的离心率 $e$ ；
（II）设直线 $P F_{2}$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，$M$ 是直线 $P F_{2}$ 上的点，满足 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B M}=-2$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

19．（本小题满分 14 分）
已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=\ln x-a x^{2}, x>0$. （ $f(x)$ 的图像连续不断）
（I）求 $f(x)$ 的单调区间；
（II）当 $a=\frac{1}{8}$ 时，证明：存在 $x_{0} \in(2,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)$ ；
（III）若存在均属于区间 $[1,3]$ 的 $\alpha, \beta$ ，且 $\beta-\alpha \geq 1$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ ，证明 $\frac{\ln 3-\ln 2}{5} \leq a \leq \frac{\ln 2}{3}$ ．