2012 大纲卷 · 理 数学

（5分）复数 $\frac{-1+3 i}{1+i}=$

（5分）已知集合$A={1$，3，}，$B={1$，m}，A∪$B=A$，则m的值为（　　
）
A．0或B．0或3 C．1或D．1或3

（5分）椭圆的中心在原点，焦距为 4 ，一条准线为 $\mathrm{x}=-4$ ，则该椭圆的方程为（ ）

（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点 ，则直线 $\mathrm{AC}_{1}$ 与平面 BED 的距离为（）

（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}=5, S_{5}=15$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$的前 100 项和为（ ）

（5分）$\triangle A B C$ 中，$A B$ 边的高为 $C D$ ，若 $\overrightarrow{C B}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}, \vec{a} \cdot \vec{b}=0,|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=$ 2 ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=$

（5分）已知 $\alpha$ 为第二象限角， $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos 2 \alpha=$（）

（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=2$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\left|P F_{1}\right|=2 \left|P F_{2}\right|$ ，则 $\cos \angle F_{1} P F_{2}=(\quad)$

（5分）已知 $x=\ln \pi, y=\log _{5} 2, z=e^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

（5分）已知函数 $y=x^{3}-3 x+c$ 的图象与 $x$ 轴恰有两个公共点，则 $c=$（）

（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同 ，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）

（5分）正方形 $A B C D$ 的边长为1，点 $E$ 在边 $A B$ 上，点 $F$ 在边 $B C$ 上，$A E=B F=\frac{3}{7}$ ，动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（

（5分）若 $x$ ，$y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y+1 \geqslant 0 \\ x+y-3 \leqslant 0 \\ x+3 y-3 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=3 x-y$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ －1。

（5分）当函数 $y=\sin x-\sqrt{3} \cos x(0 \leq x<2 \pi)$ 取得最大值时，$x=\underline{\frac{5 \pi}{6}}$ 。 。

（5分）若 $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 $\frac{1}{x^{2}}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ 56 ．

（10分）$\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a , b , c$ ，已知 $\cos (A-C)+c o s B=1, a=2 c$ ，求 $C$ ．

（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换。每次发球，胜方得 1 分，负方得 0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得 1 分的概率为 0.6 ，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．

（I）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；
（II）$\xi$ 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 $\xi$ 的期望。

（12分）设函数 $f(x)=a x+\cos x, x \in[0, \pi]$ ．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）设 $f(x) \leq 1+\sin x$ ，求 $a$ 的取值范围．