2012 地方卷 · 理 数学

集合 $M = \{x \mid \lg x > 0\}$，$N = \{x \mid x^2 \leq 4\}$，则 $M \cap N = (\quad)$．

下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

设 $a,b \in R$，$i$ 是虚数单位，则“$ab = 0$”是“复数 $a + \dfrac{b}{i}$ 为纯虚数”的（　　）

设函数 $f(x)=x e^{x}$ ，则

A $x=1$ 为 $f(x)$ 的极大值点－ $\mathrm{B} x=1$ 为 $f(x)$ 的极小值点

$\mathrm{C} x=-1$ 为 $f(x)$ 的极大值点
$\mathrm{D} x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点

两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边长分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2}+b^{2}=2 c^{2}$ ，则 $\cos C$ 的最小值为

A $\frac{\sqrt{3}}{2}$
В $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C $\frac{1}{2}$
D $-\frac{1}{2}$

观察下列不等式
$1+\frac{1}{2^{2}}<\frac{3}{2}$
$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}<\frac{5}{3}$,
$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}<\frac{7}{4}$

照此规律，第五个不等式为 $\_\_\_\_$

$(a+x)^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为 10 ，则实数 $a$ 的值为 $\_\_\_\_$

设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x, \quad x>0 \\ -2 x-1, \quad x \leq 0\end{array}, D\right.$ 是由 $x$ 轴和曲线 $y=f(x)$ 及该曲线在点 $(1,0)$ 处的切线所围成的封闭区域，则 $z=x-2 y$ 在 $D$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$

（不等式选做题）若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1|\leq3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是____

（本小题满分 12 分）
设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比不为 1 的等比数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5}, a_{3}, a_{4}$ 成等差数列。
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；（2）证明：对任意 $k \in N_{+}, S_{k+2}, S_{k}, S_{k+1}$ 成等差数列

（本小题满分 14 分）
设函数 $f_{n}(x)=x^{n}+b x+c \quad\left(n \in N_{+}, b, c \in R\right)$
①设 $n \geq 2, b=1, c=-1$ ，证明：$f_{n}(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一的零点；
②设 $n=2$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in[-1,1]$ ，有 $\left|f_{2}\left(x_{1}\right)-f_{2}\left(x_{2}\right)\right| \leq 4$ ，求 $b$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设 $x_{n}$ 是 $f_{n}(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内的零点，判断数列 $x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \cdots$ 的增减性。