2012 地方卷 数学

不等式 ${ \frac { x - 1 } { x + 2 } } < 0$ 的解集是为（A） $( 1 , + \infty )$ （B） $( - \infty , - 2 )$ （C）（-2，1）（D） $( - \infty , - 2 ) \cup ( 1 , + \infty )$

设 A，B 为直线 y x= 与圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的两个交点，则| $\scriptstyle A B \mid =$

$\left( 1 - 3 x \right) ^ { 5 }$ 的展开式中 $x ^ { 3 }$ 的系数为（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270

$\frac { \sin 4 7 ^ { \circ } - \sin 1 7 ^ { \circ } \cos 3 0 ^ { \circ } } { \cos 1 7 ^ { \circ } }$

设 $x \in R$ ，向量 $\stackrel { } { a } = ( x , 1 ) , \stackrel { } { b } = ( 1 , - 2 )$ ,且 $\vec { a } \perp \vec { b }$ ，则 ${ \vec { a } } + { \vec { b } } \left| = \right.$

设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1， $\sqrt { 2 }$ 和a且长为a的棱与长为 $\sqrt { 2 }$ 的棱异
面，则a的取值范围是

设函数 $f ( x ) = x ^ { 2 } - 4 x + 3 , g ( x ) = 3 ^ { x } - 2$ , 集
合 $M = \{ x \in R \mid f ( g ( x ) ) > 0 \}$
$N = \{ x \in R | g ( x ) < 2 \}$ , 则 $M \cap N$ 为

首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 $S _ { 4 } =$

函数 $f ( x ) = ( x + a ) ( x - 4 )$ 为偶函数，则实数a =

设 $\triangle A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $a { = } 1 , b { = } 2 , \cos C = \frac { 1 } { 4 }$ ，则 $\sin B =$

某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）。

（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_1+a_3=8, a_2+a_4=12$，（Ⅰ）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；（Ⅱ）记 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_1, a_k, S_{k+2}$ 成等比数列，求正整数 $k$ 的值。

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴

题(21)图

上，上顶点为A ，左、右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ，线段 $O F _ { 1 } , O F _ { 2 }$ 的中点分别为 $B _ { 1 } , B _ { 2 }$ ，且△$A B _ { 1 } B _ { 2 }$ 是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过 $B _ { 1 }$ 作直线交椭圆于 $P , Q , \ P B _ { 2 } \bot Q B _ { 2 }$ ，求 $\triangle P B _ { 2 } Q$ 的面积

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球 3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 $\dfrac{1}{3}$，乙每次投篮投中的概率为 $\dfrac{1}{2}$，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率。

（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）设函数 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（其中 $A>0,\omega>0,-\pi<\varphi<\pi$）在 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 处取得最大值 2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$（Ⅰ）求 $f(x)$ 的解析式；（Ⅱ）求函数 $g(x)=\dfrac{6\cos^{4}x-\sin^{2}x-1}{f\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)}$ 的值域。