2012 天津卷 · 理 数学

i是虚数单位，复数 $\dfrac{7-i}{3+i}=$

设 $\varphi \in R$，则“$\varphi = 0$”是“$f(x) = \cos(x + \varphi)(x \in R)$ 为偶函数”的

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为－ 25 时，输出 x 的值为
（A）-1
（B） 1
（C） 3
（D） 9

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为－ 25 时，输出 x 的值为

函数 $f(x)=2^{x}+x^{3}-2$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是
（A） 0
（B） 1
（C） 2
（D） 3

（4）函数 $f(x)=2^{x}+x^{3}-2$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是

在 $\left(2 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数为
（A） 10
（B）-10
（C） 40
（D）-40

（5）在 $\left(2 x^{2}-\frac{1}{x}\right)^{5}$ 的二项展开式中，$x$ 的系数为

某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 $\_\_\_\_$所学校，中学中抽取 $\_\_\_\_$所学校．


则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

（9）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所．
现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校
对学生进行视力调查，应从小学中抽取 $\_\_\_\_$所

学校，中学中抽取 $\_\_\_\_$所学校。

一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{m}^{3}$ ．

已知集合 $A=\{\mathrm{x} \in R| | x+2 \mid<3\}$ ，集合
$B=\{x \in R \mid(x-m)(x-2)<0\}$ ，且 $A \cap B=(-1, n)$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

（11）已知集合 $A=\{\mathrm{x} \in R| | x+2 \mid<3\}$ ，集合 $B=\{x \in R \mid(x-m)(x-2)<0\}$ ，且
$A \cap B=(-1, n)$ ，则 $\mathrm{m}=$ $\_\_\_\_$ ， $\mathrm{n}=$ $\_\_\_\_$ ．

已知抛物线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 p t^{2}, \\ y=2 p t\end{array}\right.$（ t 为参数），其中 $\mathrm{p}>0$ ，焦点为 F ，准线为 $l$ ．
过抛物线上一点 M 作 $l$ 的垂线，垂足为 E ．若 $|\mathrm{EF}|=|\mathrm{MF}|$ ，点 M 的横坐标是 3 ，则 $\mathrm{p}=$ $\_\_\_\_$ ．

（12）已知抛物线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 p t^{2} \\ y=2 p t\end{array}\right.$（ t 为参数），其中 $\mathrm{p}>0$ ，焦点为 F ，准线为 $l$ ．过抛物线上一点 M 作 $l$ 的垂线，垂足为 E ．若 $|\mathrm{EF}|=|\mathrm{MF}|$ ，点 M 的横坐标是 3 ，则 $\mathrm{p}=$ $\_\_\_\_$ ．

如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ．
过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3$ ， $\mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

（13）如图，已知 $A B$ 和 $A C$ 是圆的两条弦，过点 B 作

圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D ．过点 C 作 BD 的
平行线与圆相交于点 E ，与 AB 相交于点 $\mathrm{F}, \mathrm{AF}=3$ ， $\mathrm{FB}=1, \mathrm{EF}=\frac{3}{2}$ ，则线段 CD 的长为 $\_\_\_\_$ ．

已知函数 $y=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=k x-2$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

三．

（14）已知函数 $y=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}$ 的图象与函数 $y=k x-2$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．

（15）（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+2 \cos ^{2} x-1, x \in R$ ．

（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值．